ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oiso2 Unicode version

Theorem f1oiso2 5409
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation  S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oiso2.1  S  { <. , 
>.  |  `' H `  R `' H `  }
Assertion
Ref Expression
f1oiso2  H : -1-1-onto->  H  Isom  R ,  S  ,
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , H,   , R,
Allowed substitution hints:    S(,)

Proof of Theorem f1oiso2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oiso2.1 . . 3  S  { <. , 
>.  |  `' H `  R `' H `  }
2 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  `' H `
32adantrr 448 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  `' H `
433adant3 923 . . . . . . 7  H : -1-1-onto->  `' H `  R `' H `  `' H `
5 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  `' H `
65adantrl 447 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  `' H `
763adant3 923 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  `' H `  R `' H `  `' H `
8 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
98eqcomd 2042 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
10 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
1110eqcomd 2042 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
129, 11anim12dan 532 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  H `  `' H `  H `  `' H `
13123adant3 923 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  `' H `  R `' H `  H `  `' H `  H `  `' H `
14 simp3 905 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  `' H `  R `' H `  `' H `  R `' H `
15 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . 12  `' H `  H `  H `  `' H `
1615eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11  `' H `  H `  H `  `' H `
1716anbi2d 437 . . . . . . . . . 10  `' H `  H `  `' H `  H `  H `  `' H `  H `  `' H `
18 breq2 3759 . . . . . . . . . 10  `' H `  `' H `  R  `' H `  R `' H `
1917, 18anbi12d 442 . . . . . . . . 9  `' H `  H `  `' H `  H `  `' H `  R  H `
 `' H `  H `  `' H `  `' H `  R `' H `
2019rspcev 2650 . . . . . . . 8  `' H `  H `  `' H `  H `  `' H `  `' H `  R `' H `  H `  `' H `  H `  `' H `  R
217, 13, 14, 20syl12anc 1132 . . . . . . 7  H : -1-1-onto->  `' H `  R `' H `  H `  `' H `  H `  `' H `  R
22 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . 12  `' H `  H `  H `  `' H `
2322eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11  `' H `  H `  H `  `' H `
2423anbi1d 438 . . . . . . . . . 10  `' H `  H `  H `  H `  `' H `  H `
25 breq1 3758 . . . . . . . . . 10  `' H `  R  `' H `  R
2624, 25anbi12d 442 . . . . . . . . 9  `' H `  H `  H `  R  H `  `' H `  H `  `' H `  R
2726rexbidv 2321 . . . . . . . 8  `' H `  H `  H `  R  H `  `' H `  H `  `' H `  R
2827rspcev 2650 . . . . . . 7  `' H `  H `  `' H `  H `  `' H `  R  H `  H `  R
294, 21, 28syl2anc 391 . . . . . 6  H : -1-1-onto->  `' H `  R `' H `  H `  H `  R
30293expib 1106 . . . . 5  H : -1-1-onto->  `' H `  R `' H `  H `  H `  R
31 simp3ll 974 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H `
32 simp1 903 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H : -1-1-onto->
33 simp2l 929 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  H `  R
34 f1of 5069 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  H :
-->
3534ffvelrnda 5245 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `
3632, 33, 35syl2anc 391 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H `
3731, 36eqeltrd 2111 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  H `  H `  R
38 simp3lr 975 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H `
39 simp2r 930 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  H `  R
4034ffvelrnda 5245 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `
4132, 39, 40syl2anc 391 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H `
4238, 41eqeltrd 2111 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  H `  H `  R
43 simp3r 932 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  R
4431eqcomd 2042 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H `
45 f1ocnvfv 5362 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
4632, 33, 45syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H `  `' H `
4744, 46mpd 13 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  `' H `
4838eqcomd 2042 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H `
49 f1ocnvfv 5362 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
5032, 39, 49syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  H `  `' H `
5148, 50mpd 13 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  `' H `
5243, 47, 513brtr4d 3785 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  `' H `  R `' H `
5337, 42, 52jca31 292 . . . . . . 7  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  `' H `  R `' H `
54533exp 1102 . . . . . 6  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  `' H `  R `' H `
5554rexlimdvv 2433 . . . . 5  H : -1-1-onto->  H `  H `  R  `' H `  R `' H `
5630, 55impbid 120 . . . 4  H : -1-1-onto->  `' H `  R `' H `  H `  H `  R
5756opabbidv 3814 . . 3  H : -1-1-onto->  { <. ,  >.  |  `' H `  R `' H `  }  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }
581, 57syl5eq 2081 . 2  H : -1-1-onto->  S  { <. , 
>.  |  H `  H `  R }
59 f1oiso 5408 . 2  H : -1-1-onto->  S  { <. , 
>.  |  H `  H `  R }  H  Isom  R ,  S  ,
6058, 59mpdan 398 1  H : -1-1-onto->  H  Isom  R ,  S  ,
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755   {copab 3808   `'ccnv 4287   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845    Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator