ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oiso Unicode version

Theorem f1oiso 5408
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation  S. Proposition 6.33 of [TakeutiZaring] p. 34. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1oiso  H : -1-1-onto->  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  H  Isom  R ,  S  ,
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   , H,,,   , R,,,
Allowed substitution hints:   (,)    S(,,,)

Proof of Theorem f1oiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . 2  H : -1-1-onto->  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  H : -1-1-onto->
2 f1of1 5068 . . 3  H : -1-1-onto->  H : -1-1->
3 df-br 3756 . . . . 5  H `  S H `  <. H `
 ,  H `  >.  S
4 eleq2 2098 . . . . . . 7  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  <. H `  ,  H `
 >.  S  <. H `  ,  H `
 >. 
{ <. ,  >.  |  H `  H `  R }
5 f1fn 5036 . . . . . . . . 9  H : -1-1->  H  Fn
6 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . 12  Fun  H  dom  H  H `  _V
76funfni 4942 . . . . . . . . . . 11  H  Fn  H `  _V
8 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . 12  Fun  H  dom  H  H `  _V
98funfni 4942 . . . . . . . . . . 11  H  Fn  H `  _V
107, 9anim12dan 532 . . . . . . . . . 10  H  Fn  H `  _V  H `  _V
11 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . . . 14  H `  H `  H `
 H `
1211anbi1d 438 . . . . . . . . . . . . 13  H `  H `  H `  H `  H `  H `
1312anbi1d 438 . . . . . . . . . . . 12  H `  H `  H `  R  H `  H `  H `  R
14132rexbidv 2343 . . . . . . . . . . 11  H `  H `  H `  R  H `  H `  H `  R
15 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . . . 14  H `  H `  H `
 H `
1615anbi2d 437 . . . . . . . . . . . . 13  H `  H `  H `  H `  H `  H `  H `  H `
1716anbi1d 438 . . . . . . . . . . . 12  H `  H `  H `  H `  R  H `  H `  H `  H `  R
18172rexbidv 2343 . . . . . . . . . . 11  H `  H `  H `  H `  R  H `  H `  H `  H `  R
1914, 18opelopabg 3996 . . . . . . . . . 10  H `  _V  H `  _V  <. H `  ,  H `  >.  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  H `  H `  H `  H `  R
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9  H  Fn  <. H `  ,  H `  >.  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  H `  H `  H `  H `  R
215, 20sylan 267 . . . . . . . 8  H : -1-1->  <. H `  ,  H `  >.  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  H `  H `  H `  H `  R
22 anass 381 . . . . . . . . . . . . . . 15  H `  H `  H `  H `  R  H `  H `  H `  H `  R
23 f1fveq 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  H : -1-1->  H `  H `
24 equcom 1590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2523, 24syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  H : -1-1->  H `  H `
2625anassrs 380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  H : -1-1->  H `
 H `
2726anbi1d 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  H : -1-1->  H `  H `  H `  H `  R  H `  H `  R
2822, 27syl5bb 181 . . . . . . . . . . . . . 14  H : -1-1->  H `  H `  H `  H `  R  H `  H `  R
2928rexbidv 2321 . . . . . . . . . . . . 13  H : -1-1->  H `  H `  H `  H `  R  H `  H `  R
30 r19.42v 2461 . . . . . . . . . . . . 13  H `  H `  R  H `  H `  R
3129, 30syl6bb 185 . . . . . . . . . . . 12  H : -1-1->  H `  H `  H `  H `  R  H `  H `  R
3231rexbidva 2317 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1->  H `  H `  H `  H `  R  H `
 H `  R
33 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . 15  R  R
3433anbi2d 437 . . . . . . . . . . . . . 14  H `  H `  R  H `  H `  R
3534rexbidv 2321 . . . . . . . . . . . . 13  H `  H `  R  H `
 H `  R
3635ceqsrexv 2668 . . . . . . . . . . . 12  H `  H `  R  H `  H `  R
3736adantl 262 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1->  H `
 H `  R  H `
 H `  R
3832, 37bitrd 177 . . . . . . . . . 10  H : -1-1->  H `  H `  H `  H `  R  H `
 H `  R
39 f1fveq 5354 . . . . . . . . . . . . . . 15  H : -1-1->  H `  H `
40 equcom 1590 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 40syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . . 14  H : -1-1->  H `  H `
4241anassrs 380 . . . . . . . . . . . . 13  H : -1-1->  H `
 H `
4342anbi1d 438 . . . . . . . . . . . 12  H : -1-1->  H `  H `  R  R
4443rexbidva 2317 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1->  H `
 H `  R  R
45 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13  R  R
4645ceqsrexv 2668 . . . . . . . . . . . 12  R  R
4746adantl 262 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1->  R  R
4844, 47bitrd 177 . . . . . . . . . 10  H : -1-1->  H `
 H `  R  R
4938, 48sylan9bb 435 . . . . . . . . 9  H : -1-1->  H : -1-1->  H `  H `  H `  H `  R  R
5049anandis 526 . . . . . . . 8  H : -1-1->  H `  H `  H `  H `  R  R
5121, 50bitrd 177 . . . . . . 7  H : -1-1->  <. H `  ,  H `  >.  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  R
524, 51sylan9bbr 436 . . . . . 6  H : -1-1->  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  <. H `  ,  H `  >.  S  R
5352an32s 502 . . . . 5  H : -1-1->  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  <. H `  ,  H `  >.  S  R
543, 53syl5rbb 182 . . . 4  H : -1-1->  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  R  H `
 S H `
5554ralrimivva 2395 . . 3  H : -1-1->  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  R  H `
 S H `
562, 55sylan 267 . 2  H : -1-1-onto->  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  R  H `  S H `
57 df-isom 4854 . 2  H 
Isom  R ,  S  ,  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `
581, 56, 57sylanbrc 394 1  H : -1-1-onto->  S  { <. ,  >.  |  H `  H `  R }  H  Isom  R ,  S  ,
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   {copab 3808    Fn wfn 4840   -1-1->wf1 4842   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845    Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by:  f1oiso2  5409
  Copyright terms: Public domain W3C validator