Theorem recexre 7569

Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7027	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reapval 7567	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 401	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4		lt0neg1 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5		renegcl 7272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 7085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
7	1, 5, 6	sylancr 393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
8	4, 7	bitrd 177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
9	8	pm5.32i 427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴))
10		ax-precex 6994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
11		simpr 103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → (-𝐴 · 𝑦) = 1)
12	11	reximi 2416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
14	5, 13	sylan 267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
15	9, 14	sylbi 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
16		recn 7014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 7313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
18	17	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (-𝐴 · --𝑦) = (-𝐴 · 𝑦))
19	18	eqeq1d 2048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((-𝐴 · --𝑦) = 1 ↔ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
20	19	pm5.32i 427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
21		renegcl 7272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
22		negeq 7204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
23	22	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (-𝐴 · -𝑥) = (-𝐴 · --𝑦))
24	23	eqeq1d 2048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (-𝐴 · --𝑦) = 1))
25	24	rspcev 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
26	21, 25	sylan 267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
27	20, 26	sylbir 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
28	27	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
29	15, 28	rexlimddv 2437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
30		recn 7014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31		recn 7014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
32		mul2neg 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
33	30, 31, 32	syl2an 273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
34	33	eqeq1d 2048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
35	34	rexbidva 2323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
36	35	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
37	29, 36	mpbid 135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
38	37	ex 108	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
39		ltxrlt 7085	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
40	1, 39	mpan 400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
41	40	pm5.32i 427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴))
42		ax-precex 6994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
43		simpr 103	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
44	43	reximi 2416	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
45	42, 44	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
46	41, 45	sylbi 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
47	46	ex 108	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
48	38, 47	jaod 637	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
49	3, 48	sylbid 139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
50	49	imp 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   <_ℝ cltrr 6893   · cmul 6894   < clt 7060  -cneg 7183   #_ℝ creap 7565

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566

This theorem is referenced by:  rimul  7576  recexap  7634  rerecclap  7706