ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexre Structured version   GIF version

Theorem recexre 7322
Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexre ((A A # 0) → x ℝ (A · x) = 1)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexre
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 6785 . . . 4 0
2 reapval 7320 . . . 4 ((A 0 ℝ) → (A # 0 ↔ (A < 0 0 < A)))
31, 2mpan2 401 . . 3 (A ℝ → (A # 0 ↔ (A < 0 0 < A)))
4 lt0neg1 7218 . . . . . . . . . 10 (A ℝ → (A < 0 ↔ 0 < -A))
5 renegcl 7028 . . . . . . . . . . 11 (A ℝ → -A ℝ)
6 ltxrlt 6842 . . . . . . . . . . 11 ((0 -A ℝ) → (0 < -A ↔ 0 < -A))
71, 5, 6sylancr 393 . . . . . . . . . 10 (A ℝ → (0 < -A ↔ 0 < -A))
84, 7bitrd 177 . . . . . . . . 9 (A ℝ → (A < 0 ↔ 0 < -A))
98pm5.32i 427 . . . . . . . 8 ((A A < 0) ↔ (A 0 < -A))
10 ax-precex 6753 . . . . . . . . . 10 ((-A 0 < -A) → y ℝ (0 < y (-A · y) = 1))
11 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((0 < y (-A · y) = 1) → (-A · y) = 1)
1211reximi 2410 . . . . . . . . . 10 (y ℝ (0 < y (-A · y) = 1) → y ℝ (-A · y) = 1)
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 ((-A 0 < -A) → y ℝ (-A · y) = 1)
145, 13sylan 267 . . . . . . . 8 ((A 0 < -A) → y ℝ (-A · y) = 1)
159, 14sylbi 114 . . . . . . 7 ((A A < 0) → y ℝ (-A · y) = 1)
16 recn 6772 . . . . . . . . . . . . 13 (y ℝ → y ℂ)
1716negnegd 7069 . . . . . . . . . . . 12 (y ℝ → --y = y)
1817oveq2d 5471 . . . . . . . . . . 11 (y ℝ → (-A · --y) = (-A · y))
1918eqeq1d 2045 . . . . . . . . . 10 (y ℝ → ((-A · --y) = 1 ↔ (-A · y) = 1))
2019pm5.32i 427 . . . . . . . . 9 ((y (-A · --y) = 1) ↔ (y (-A · y) = 1))
21 renegcl 7028 . . . . . . . . . 10 (y ℝ → -y ℝ)
22 negeq 6961 . . . . . . . . . . . . 13 (x = -y → -x = --y)
2322oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 (x = -y → (-A · -x) = (-A · --y))
2423eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . 11 (x = -y → ((-A · -x) = 1 ↔ (-A · --y) = 1))
2524rspcev 2650 . . . . . . . . . 10 ((-y (-A · --y) = 1) → x ℝ (-A · -x) = 1)
2621, 25sylan 267 . . . . . . . . 9 ((y (-A · --y) = 1) → x ℝ (-A · -x) = 1)
2720, 26sylbir 125 . . . . . . . 8 ((y (-A · y) = 1) → x ℝ (-A · -x) = 1)
2827adantl 262 . . . . . . 7 (((A A < 0) (y (-A · y) = 1)) → x ℝ (-A · -x) = 1)
2915, 28rexlimddv 2431 . . . . . 6 ((A A < 0) → x ℝ (-A · -x) = 1)
30 recn 6772 . . . . . . . . . 10 (A ℝ → A ℂ)
31 recn 6772 . . . . . . . . . 10 (x ℝ → x ℂ)
32 mul2neg 7151 . . . . . . . . . 10 ((A x ℂ) → (-A · -x) = (A · x))
3330, 31, 32syl2an 273 . . . . . . . . 9 ((A x ℝ) → (-A · -x) = (A · x))
3433eqeq1d 2045 . . . . . . . 8 ((A x ℝ) → ((-A · -x) = 1 ↔ (A · x) = 1))
3534rexbidva 2317 . . . . . . 7 (A ℝ → (x ℝ (-A · -x) = 1 ↔ x ℝ (A · x) = 1))
3635adantr 261 . . . . . 6 ((A A < 0) → (x ℝ (-A · -x) = 1 ↔ x ℝ (A · x) = 1))
3729, 36mpbid 135 . . . . 5 ((A A < 0) → x ℝ (A · x) = 1)
3837ex 108 . . . 4 (A ℝ → (A < 0 → x ℝ (A · x) = 1))
39 ltxrlt 6842 . . . . . . . 8 ((0 A ℝ) → (0 < A ↔ 0 < A))
401, 39mpan 400 . . . . . . 7 (A ℝ → (0 < A ↔ 0 < A))
4140pm5.32i 427 . . . . . 6 ((A 0 < A) ↔ (A 0 < A))
42 ax-precex 6753 . . . . . . 7 ((A 0 < A) → x ℝ (0 < x (A · x) = 1))
43 simpr 103 . . . . . . . 8 ((0 < x (A · x) = 1) → (A · x) = 1)
4443reximi 2410 . . . . . . 7 (x ℝ (0 < x (A · x) = 1) → x ℝ (A · x) = 1)
4542, 44syl 14 . . . . . 6 ((A 0 < A) → x ℝ (A · x) = 1)
4641, 45sylbi 114 . . . . 5 ((A 0 < A) → x ℝ (A · x) = 1)
4746ex 108 . . . 4 (A ℝ → (0 < Ax ℝ (A · x) = 1))
4838, 47jaod 636 . . 3 (A ℝ → ((A < 0 0 < A) → x ℝ (A · x) = 1))
493, 48sylbid 139 . 2 (A ℝ → (A # 0 → x ℝ (A · x) = 1))
5049imp 115 1 ((A A # 0) → x ℝ (A · x) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   < cltrr 6675   · cmul 6676   < clt 6817  -cneg 6940   # creap 7318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319
This theorem is referenced by:  rimul  7329  recexap  7376  rerecclap  7448
  Copyright terms: Public domain W3C validator