ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul2neg Structured version   GIF version

Theorem mul2neg 6996
Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mul2neg ((A B ℂ) → (-A · -B) = (A · B))

Proof of Theorem mul2neg
StepHypRef Expression
1 negcl 6813 . . 3 (B ℂ → -B ℂ)
2 mulneg12 6995 . . 3 ((A -B ℂ) → (-A · -B) = (A · --B))
31, 2sylan2 270 . 2 ((A B ℂ) → (-A · -B) = (A · --B))
4 negneg 6862 . . . 4 (B ℂ → --B = B)
54adantl 262 . . 3 ((A B ℂ) → --B = B)
65oveq2d 5448 . 2 ((A B ℂ) → (A · --B) = (A · B))
73, 6eqtrd 2050 1 ((A B ℂ) → (-A · -B) = (A · B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1226   wcel 1370  (class class class)co 5432  cc 6522   · cmul 6529  -cneg 6785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-setind 4200  ax-resscn 6582  ax-1cn 6583  ax-icn 6585  ax-addcl 6586  ax-addrcl 6587  ax-mulcl 6588  ax-addcom 6590  ax-mulcom 6591  ax-addass 6592  ax-distr 6594  ax-i2m1 6595  ax-0id 6598  ax-rnegex 6599  ax-cnre 6601
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fv 4833  df-riota 5389  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-sub 6786  df-neg 6787
This theorem is referenced by:  mulsub  6999  mulsub2  7000  mul2negi  7004  mul2negd  7011  mullt0  7075  recexre  7167
  Copyright terms: Public domain W3C validator