ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulsub Structured version   GIF version

Theorem mulsub 7174
Description: Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mulsub (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((AB) · (𝐶𝐷)) = (((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) − ((A · 𝐷) + (𝐶 · B))))

Proof of Theorem mulsub
StepHypRef Expression
1 negsub 7035 . . 3 ((A B ℂ) → (A + -B) = (AB))
2 negsub 7035 . . 3 ((𝐶 𝐷 ℂ) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶𝐷))
31, 2oveqan12d 5474 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + -B) · (𝐶 + -𝐷)) = ((AB) · (𝐶𝐷)))
4 negcl 6988 . . . 4 (B ℂ → -B ℂ)
5 negcl 6988 . . . . 5 (𝐷 ℂ → -𝐷 ℂ)
6 muladd 7157 . . . . 5 (((A -B ℂ) (𝐶 -𝐷 ℂ)) → ((A + -B) · (𝐶 + -𝐷)) = (((A · 𝐶) + (-𝐷 · -B)) + ((A · -𝐷) + (𝐶 · -B))))
75, 6sylanr2 385 . . . 4 (((A -B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + -B) · (𝐶 + -𝐷)) = (((A · 𝐶) + (-𝐷 · -B)) + ((A · -𝐷) + (𝐶 · -B))))
84, 7sylanl2 383 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + -B) · (𝐶 + -𝐷)) = (((A · 𝐶) + (-𝐷 · -B)) + ((A · -𝐷) + (𝐶 · -B))))
9 mul2neg 7171 . . . . . . 7 ((𝐷 B ℂ) → (-𝐷 · -B) = (𝐷 · B))
109ancoms 255 . . . . . 6 ((B 𝐷 ℂ) → (-𝐷 · -B) = (𝐷 · B))
1110oveq2d 5471 . . . . 5 ((B 𝐷 ℂ) → ((A · 𝐶) + (-𝐷 · -B)) = ((A · 𝐶) + (𝐷 · B)))
1211ad2ant2l 477 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A · 𝐶) + (-𝐷 · -B)) = ((A · 𝐶) + (𝐷 · B)))
13 mulneg2 7169 . . . . . . . 8 ((A 𝐷 ℂ) → (A · -𝐷) = -(A · 𝐷))
14 mulneg2 7169 . . . . . . . 8 ((𝐶 B ℂ) → (𝐶 · -B) = -(𝐶 · B))
1513, 14oveqan12d 5474 . . . . . . 7 (((A 𝐷 ℂ) (𝐶 B ℂ)) → ((A · -𝐷) + (𝐶 · -B)) = (-(A · 𝐷) + -(𝐶 · B)))
16 mulcl 6786 . . . . . . . 8 ((A 𝐷 ℂ) → (A · 𝐷) ℂ)
17 mulcl 6786 . . . . . . . 8 ((𝐶 B ℂ) → (𝐶 · B) ℂ)
18 negdi 7044 . . . . . . . 8 (((A · 𝐷) (𝐶 · B) ℂ) → -((A · 𝐷) + (𝐶 · B)) = (-(A · 𝐷) + -(𝐶 · B)))
1916, 17, 18syl2an 273 . . . . . . 7 (((A 𝐷 ℂ) (𝐶 B ℂ)) → -((A · 𝐷) + (𝐶 · B)) = (-(A · 𝐷) + -(𝐶 · B)))
2015, 19eqtr4d 2072 . . . . . 6 (((A 𝐷 ℂ) (𝐶 B ℂ)) → ((A · -𝐷) + (𝐶 · -B)) = -((A · 𝐷) + (𝐶 · B)))
2120ancom2s 500 . . . . 5 (((A 𝐷 ℂ) (B 𝐶 ℂ)) → ((A · -𝐷) + (𝐶 · -B)) = -((A · 𝐷) + (𝐶 · B)))
2221an42s 523 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A · -𝐷) + (𝐶 · -B)) = -((A · 𝐷) + (𝐶 · B)))
2312, 22oveq12d 5473 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((A · 𝐶) + (-𝐷 · -B)) + ((A · -𝐷) + (𝐶 · -B))) = (((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) + -((A · 𝐷) + (𝐶 · B))))
24 mulcl 6786 . . . . . 6 ((A 𝐶 ℂ) → (A · 𝐶) ℂ)
25 mulcl 6786 . . . . . . 7 ((𝐷 B ℂ) → (𝐷 · B) ℂ)
2625ancoms 255 . . . . . 6 ((B 𝐷 ℂ) → (𝐷 · B) ℂ)
27 addcl 6784 . . . . . 6 (((A · 𝐶) (𝐷 · B) ℂ) → ((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) ℂ)
2824, 26, 27syl2an 273 . . . . 5 (((A 𝐶 ℂ) (B 𝐷 ℂ)) → ((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) ℂ)
2928an4s 522 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) ℂ)
3017ancoms 255 . . . . . 6 ((B 𝐶 ℂ) → (𝐶 · B) ℂ)
31 addcl 6784 . . . . . 6 (((A · 𝐷) (𝐶 · B) ℂ) → ((A · 𝐷) + (𝐶 · B)) ℂ)
3216, 30, 31syl2an 273 . . . . 5 (((A 𝐷 ℂ) (B 𝐶 ℂ)) → ((A · 𝐷) + (𝐶 · B)) ℂ)
3332an42s 523 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A · 𝐷) + (𝐶 · B)) ℂ)
3429, 33negsubd 7104 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) + -((A · 𝐷) + (𝐶 · B))) = (((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) − ((A · 𝐷) + (𝐶 · B))))
358, 23, 343eqtrd 2073 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + -B) · (𝐶 + -𝐷)) = (((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) − ((A · 𝐷) + (𝐶 · B))))
363, 35eqtr3d 2071 1 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((AB) · (𝐶𝐷)) = (((A · 𝐶) + (𝐷 · B)) − ((A · 𝐷) + (𝐶 · B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6689   + caddc 6694   · cmul 6696  cmin 6959  -cneg 6960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6961  df-neg 6962
This theorem is referenced by:  mulsubd  7190  muleqadd  7411  addltmul  7918
  Copyright terms: Public domain W3C validator