ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addltmul Structured version   GIF version

Theorem addltmul 7898
Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
addltmul (((A B ℝ) (2 < A 2 < B)) → (A + B) < (A · B))

Proof of Theorem addltmul
StepHypRef Expression
1 2re 7725 . . . . . . 7 2
2 1re 6784 . . . . . . 7 1
3 ltsub1 7208 . . . . . . 7 ((2 A 1 ℝ) → (2 < A ↔ (2 − 1) < (A − 1)))
41, 2, 3mp3an13 1222 . . . . . 6 (A ℝ → (2 < A ↔ (2 − 1) < (A − 1)))
5 2m1e1 7772 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
65breq1i 3762 . . . . . 6 ((2 − 1) < (A − 1) ↔ 1 < (A − 1))
74, 6syl6bb 185 . . . . 5 (A ℝ → (2 < A ↔ 1 < (A − 1)))
8 ltsub1 7208 . . . . . . 7 ((2 B 1 ℝ) → (2 < B ↔ (2 − 1) < (B − 1)))
91, 2, 8mp3an13 1222 . . . . . 6 (B ℝ → (2 < B ↔ (2 − 1) < (B − 1)))
105breq1i 3762 . . . . . 6 ((2 − 1) < (B − 1) ↔ 1 < (B − 1))
119, 10syl6bb 185 . . . . 5 (B ℝ → (2 < B ↔ 1 < (B − 1)))
127, 11bi2anan9 538 . . . 4 ((A B ℝ) → ((2 < A 2 < B) ↔ (1 < (A − 1) 1 < (B − 1))))
13 peano2rem 7034 . . . . 5 (A ℝ → (A − 1) ℝ)
14 peano2rem 7034 . . . . 5 (B ℝ → (B − 1) ℝ)
15 mulgt1 7570 . . . . . 6 ((((A − 1) (B − 1) ℝ) (1 < (A − 1) 1 < (B − 1))) → 1 < ((A − 1) · (B − 1)))
1615ex 108 . . . . 5 (((A − 1) (B − 1) ℝ) → ((1 < (A − 1) 1 < (B − 1)) → 1 < ((A − 1) · (B − 1))))
1713, 14, 16syl2an 273 . . . 4 ((A B ℝ) → ((1 < (A − 1) 1 < (B − 1)) → 1 < ((A − 1) · (B − 1))))
1812, 17sylbid 139 . . 3 ((A B ℝ) → ((2 < A 2 < B) → 1 < ((A − 1) · (B − 1))))
19 recn 6772 . . . . . 6 (A ℝ → A ℂ)
20 recn 6772 . . . . . 6 (B ℝ → B ℂ)
21 ax-1cn 6736 . . . . . . 7 1
22 mulsub 7154 . . . . . . . 8 (((A 1 ℂ) (B 1 ℂ)) → ((A − 1) · (B − 1)) = (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))))
2321, 22mpanl2 411 . . . . . . 7 ((A (B 1 ℂ)) → ((A − 1) · (B − 1)) = (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))))
2421, 23mpanr2 414 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((A − 1) · (B − 1)) = (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))))
2519, 20, 24syl2an 273 . . . . 5 ((A B ℝ) → ((A − 1) · (B − 1)) = (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))))
2625breq2d 3767 . . . 4 ((A B ℝ) → (1 < ((A − 1) · (B − 1)) ↔ 1 < (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1)))))
27 1t1e1 7805 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
2827oveq2i 5466 . . . . . 6 ((A · B) + (1 · 1)) = ((A · B) + 1)
2928breq2i 3763 . . . . 5 ((((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + (1 · 1)) ↔ (((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + 1))
30 remulcl 6767 . . . . . . . 8 ((A 1 ℝ) → (A · 1) ℝ)
312, 30mpan2 401 . . . . . . 7 (A ℝ → (A · 1) ℝ)
32 remulcl 6767 . . . . . . . 8 ((B 1 ℝ) → (B · 1) ℝ)
332, 32mpan2 401 . . . . . . 7 (B ℝ → (B · 1) ℝ)
34 readdcl 6765 . . . . . . 7 (((A · 1) (B · 1) ℝ) → ((A · 1) + (B · 1)) ℝ)
3531, 33, 34syl2an 273 . . . . . 6 ((A B ℝ) → ((A · 1) + (B · 1)) ℝ)
36 remulcl 6767 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → (A · B) ℝ)
372, 2remulcli 6799 . . . . . . 7 (1 · 1)
38 readdcl 6765 . . . . . . 7 (((A · B) (1 · 1) ℝ) → ((A · B) + (1 · 1)) ℝ)
3936, 37, 38sylancl 392 . . . . . 6 ((A B ℝ) → ((A · B) + (1 · 1)) ℝ)
40 ltaddsub2 7187 . . . . . . 7 ((((A · 1) + (B · 1)) 1 ((A · B) + (1 · 1)) ℝ) → ((((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1)))))
412, 40mp3an2 1219 . . . . . 6 ((((A · 1) + (B · 1)) ((A · B) + (1 · 1)) ℝ) → ((((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1)))))
4235, 39, 41syl2anc 391 . . . . 5 ((A B ℝ) → ((((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1)))))
4329, 42syl5rbbr 184 . . . 4 ((A B ℝ) → (1 < (((A · B) + (1 · 1)) − ((A · 1) + (B · 1))) ↔ (((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + 1)))
44 ltadd1 7179 . . . . . . 7 ((((A · 1) + (B · 1)) (A · B) 1 ℝ) → (((A · 1) + (B · 1)) < (A · B) ↔ (((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + 1)))
452, 44mp3an3 1220 . . . . . 6 ((((A · 1) + (B · 1)) (A · B) ℝ) → (((A · 1) + (B · 1)) < (A · B) ↔ (((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + 1)))
4635, 36, 45syl2anc 391 . . . . 5 ((A B ℝ) → (((A · 1) + (B · 1)) < (A · B) ↔ (((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + 1)))
47 ax-1rid 6750 . . . . . . 7 (A ℝ → (A · 1) = A)
48 ax-1rid 6750 . . . . . . 7 (B ℝ → (B · 1) = B)
4947, 48oveqan12d 5474 . . . . . 6 ((A B ℝ) → ((A · 1) + (B · 1)) = (A + B))
5049breq1d 3765 . . . . 5 ((A B ℝ) → (((A · 1) + (B · 1)) < (A · B) ↔ (A + B) < (A · B)))
5146, 50bitr3d 179 . . . 4 ((A B ℝ) → ((((A · 1) + (B · 1)) + 1) < ((A · B) + 1) ↔ (A + B) < (A · B)))
5226, 43, 513bitrd 203 . . 3 ((A B ℝ) → (1 < ((A − 1) · (B − 1)) ↔ (A + B) < (A · B)))
5318, 52sylibd 138 . 2 ((A B ℝ) → ((2 < A 2 < B) → (A + B) < (A · B)))
5453imp 115 1 (((A B ℝ) (2 < A 2 < B)) → (A + B) < (A · B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676   < clt 6817  cmin 6939  2c2 7704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-2 7713
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator