ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexap Structured version   GIF version

Theorem recexap 7396
Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexap ((A A # 0) → x ℂ (A · x) = 1)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexap
Dummy variables y 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6801 . . 3 (A ℂ → 𝑎 𝑏 A = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2 recexaplem2 7395 . . . . . . . . 9 ((𝑎 𝑏 (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0)
323expia 1105 . . . . . . . 8 ((𝑎 𝑏 ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
4 remulcl 6787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 𝑎 ℝ) → (𝑎 · 𝑎) ℝ)
54anidms 377 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ℝ → (𝑎 · 𝑎) ℝ)
6 remulcl 6787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 𝑏 ℝ) → (𝑏 · 𝑏) ℝ)
76anidms 377 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ℝ → (𝑏 · 𝑏) ℝ)
8 readdcl 6785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 · 𝑎) (𝑏 · 𝑏) ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ℝ)
95, 7, 8syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 𝑏 ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ℝ)
10 0re 6805 . . . . . . . . . 10 0
11 apreap 7351 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) 0 ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
129, 10, 11sylancl 392 . . . . . . . . 9 ((𝑎 𝑏 ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
13 recexre 7342 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0) → y ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1)
149, 13sylan 267 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 𝑏 ℝ) ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0) → y ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1)
15 recn 6792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ℝ → 𝑎 ℂ)
16 recn 6792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ℝ → 𝑏 ℂ)
17 recn 6792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y ℝ → y ℂ)
18 ax-icn 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 i
19 mulcl 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((i 𝑏 ℂ) → (i · 𝑏) ℂ)
2018, 19mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ℂ → (i · 𝑏) ℂ)
21 subcl 6987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 (i · 𝑏) ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ℂ)
2220, 21sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 𝑏 ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ℂ)
23 mulcl 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 − (i · 𝑏)) y ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) ℂ)
2422, 23sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) ℂ)
2524adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) ℂ)
26 addcl 6784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 (i · 𝑏) ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ℂ)
2720, 26sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 𝑏 ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ℂ)
2827adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ℂ)
2922adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ℂ)
30 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) → y ℂ)
3128, 29, 30mulassd 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · y) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)))
32 recextlem1 7394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 𝑏 ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
3332adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
3433oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · y) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y))
3531, 34eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y))
36 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1)
3735, 36sylan9eq 2089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)) = 1)
38 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (x = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)))
3938eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (x = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)) = 1))
4039rspcev 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)) = 1) → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)
4125, 37, 40syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 𝑏 ℂ) y ℂ) (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1) → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)
4241exp31 346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 𝑏 ℂ) → (y ℂ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)))
4317, 42syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 𝑏 ℂ) → (y ℝ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)))
4443rexlimdv 2426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 𝑏 ℂ) → (y ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
4515, 16, 44syl2an 273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 𝑏 ℝ) → (y ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
4645adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 𝑏 ℝ) ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0) → (y ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
4714, 46mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 𝑏 ℝ) ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0) → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)
4847ex 108 . . . . . . . . 9 ((𝑎 𝑏 ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
4912, 48sylbid 139 . . . . . . . 8 ((𝑎 𝑏 ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
503, 49syld 40 . . . . . . 7 ((𝑎 𝑏 ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
5150adantr 261 . . . . . 6 (((𝑎 𝑏 ℝ) A = (𝑎 + (i · 𝑏))) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
52 breq1 3758 . . . . . . 7 (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
5352adantl 262 . . . . . 6 (((𝑎 𝑏 ℝ) A = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (A # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
54 oveq1 5462 . . . . . . . . 9 (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A · x) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x))
5554eqeq1d 2045 . . . . . . . 8 (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((A · x) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
5655rexbidv 2321 . . . . . . 7 (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (x ℂ (A · x) = 1 ↔ x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
5756adantl 262 . . . . . 6 (((𝑎 𝑏 ℝ) A = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (x ℂ (A · x) = 1 ↔ x ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
5851, 53, 573imtr4d 192 . . . . 5 (((𝑎 𝑏 ℝ) A = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (A # 0 → x ℂ (A · x) = 1))
5958ex 108 . . . 4 ((𝑎 𝑏 ℝ) → (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A # 0 → x ℂ (A · x) = 1)))
6059rexlimivv 2432 . . 3 (𝑎 𝑏 A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A # 0 → x ℂ (A · x) = 1))
611, 60syl 14 . 2 (A ℂ → (A # 0 → x ℂ (A · x) = 1))
6261imp 115 1 ((A A # 0) → x ℂ (A · x) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6689  cr 6690  0cc0 6691  1c1 6692  ici 6693   + caddc 6694   · cmul 6696  cmin 6959   # creap 7338   # cap 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346
This theorem is referenced by:  mulap0  7397  mulcanapd  7404  receuap  7412
  Copyright terms: Public domain W3C validator