Theorem recexap 7416

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexap	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0) → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexap

Dummy variables y 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6821	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ A = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		recexaplem2 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0)
3	2	3expia 1105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
4		remulcl 6807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
5	4	anidms 377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
6		remulcl 6807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
7	6	anidms 377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
8		readdcl 6805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
9	5, 7, 8	syl2an 273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
10		0re 6825	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		apreap 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0))
12	9, 10, 11	sylancl 392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0))
13		recexre 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃y ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1)
14	9, 13	sylan 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃y ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1)
15		recn 6812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
16		recn 6812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
17		recn 6812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
18		ax-icn 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ i ∈ ℂ
19		mulcl 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	18, 19	mpan 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
21		subcl 7007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23		mulcl 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) ∈ ℂ)
24	22, 23	sylan 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) ∈ ℂ)
25	24	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) ∈ ℂ)
26		addcl 6804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
27	20, 26	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
28	27	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
29	22	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
30		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → y ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	mulassd 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · y) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)))
32		recextlem1 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
33	32	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
34	33	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · y) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y))
35	31, 34	eqtr3d 2071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y))
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1)
37	35, 36	sylan9eq 2089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)) = 1)
38		oveq2 5463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)))
39	38	eqeq1d 2045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)) = 1))
40	39	rspcev 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 − (i · 𝑏)) · y) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · y)) = 1) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)
41	25, 37, 40	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)
42	41	exp31 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (y ∈ ℂ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)))
43	17, 42	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (y ∈ ℝ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)))
44	43	rexlimdv 2426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (∃y ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
45	15, 16, 44	syl2an 273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃y ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
46	45	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → (∃y ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · y) = 1 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
47	14, 46	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1)
48	47	ex 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
49	12, 48	sylbid 139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
50	3, 49	syld 40	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
51	50	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ A = (𝑎 + (i · 𝑏))) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
52		breq1 3758	. . . . . . 7 ⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
53	52	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ A = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (A # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
54		oveq1 5462	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A · x) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x))
55	54	eqeq1d 2045	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((A · x) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
56	55	rexbidv 2321	. . . . . . 7 ⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃x ∈ ℂ (A · x) = 1 ↔ ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
57	56	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ A = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (∃x ∈ ℂ (A · x) = 1 ↔ ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · x) = 1))
58	51, 53, 57	3imtr4d 192	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ A = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (A # 0 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1))
59	58	ex 108	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A # 0 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1)))
60	59	rexlimivv 2432	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A # 0 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1))
61	1, 60	syl 14	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (A # 0 → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1))
62	61	imp 115	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0) → ∃x ∈ ℂ (A · x) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716   − cmin 6979   #_ℝ creap 7358   # cap 7365

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366

This theorem is referenced by:  mulap0  7417  mulcanapd  7424  receuap  7432