ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloc2 Structured version   GIF version

Theorem prarloc2 6352
Description: A Dedekind cut is arithmetically located. This is a variation of prarloc 6351 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a tolerance 𝑃, there are elements of the lower and upper cut which are exactly that tolerance from each other. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloc2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑃 Q) → 𝑎 𝐿 (𝑎 +Q 𝑃) 𝑈)
Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑃,𝑎   𝑈,𝑎

Proof of Theorem prarloc2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prarloc 6351 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑃 Q) → 𝑎 𝐿 𝑏 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃))
2 prcunqu 6333 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 𝑈) → (𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃) → (𝑎 +Q 𝑃) 𝑈))
32rexlimdva 2407 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 P → (𝑏 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃) → (𝑎 +Q 𝑃) 𝑈))
43reximdv 2394 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P → (𝑎 𝐿 𝑏 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃) → 𝑎 𝐿 (𝑎 +Q 𝑃) 𝑈))
54adantr 261 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑃 Q) → (𝑎 𝐿 𝑏 𝑈 𝑏 <Q (𝑎 +Q 𝑃) → 𝑎 𝐿 (𝑎 +Q 𝑃) 𝑈))
61, 5mpd 13 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑃 Q) → 𝑎 𝐿 (𝑎 +Q 𝑃) 𝑈)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1370  wrex 2281  cop 3349   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  Qcnq 6134   +Q cplq 6136   <Q cltq 6139  Pcnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  addcanprleml  6445  addcanprlemu  6446  aptiprleml  6467  aptiprlemu  6468
  Copyright terms: Public domain W3C validator