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Theorem f1eqcocnv 5352
 Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5077 . . . 4 (𝐹:A1-1B → (𝐹𝐹) = ( I ↾ A))
2 coeq2 4417 . . . . 5 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐹) = (𝐹𝐺))
32eqeq1d 2026 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹𝐹) = ( I ↾ A) ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))
41, 3syl5ibcom 144 . . 3 (𝐹:A1-1B → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))
54adantr 261 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))
6 f1fn 5014 . . . . . . 7 (𝐺:A1-1B𝐺 Fn A)
76adantl 262 . . . . . 6 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → 𝐺 Fn A)
87adantr 261 . . . . 5 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) → 𝐺 Fn A)
9 f1fn 5014 . . . . . . 7 (𝐹:A1-1B𝐹 Fn A)
109adantr 261 . . . . . 6 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → 𝐹 Fn A)
1110adantr 261 . . . . 5 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) → 𝐹 Fn A)
12 equid 1567 . . . . . . . . . 10 x = x
13 resieq 4545 . . . . . . . . . 10 ((x A x A) → (x( I ↾ A)xx = x))
1412, 13mpbiri 157 . . . . . . . . 9 ((x A x A) → x( I ↾ A)x)
1514anidms 379 . . . . . . . 8 (x Ax( I ↾ A)x)
1615adantl 262 . . . . . . 7 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → x( I ↾ A)x)
17 breq 3736 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ A) → (x(𝐹𝐺)xx( I ↾ A)x))
1817ad2antlr 462 . . . . . . 7 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → (x(𝐹𝐺)xx( I ↾ A)x))
1916, 18mpbird 156 . . . . . 6 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → x(𝐹𝐺)x)
20 vex 2534 . . . . . . . . . 10 x V
2120, 20brco 4429 . . . . . . . . 9 (x(𝐹𝐺)xy(x𝐺y y𝐹x))
22 fnfun 4918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn A → Fun 𝐺)
237, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → Fun 𝐺)
2423adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → Fun 𝐺)
25 fndm 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 Fn A → dom 𝐺 = A)
267, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → dom 𝐺 = A)
2726eleq2d 2085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (x dom 𝐺x A))
2827biimpar 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → x dom 𝐺)
29 funopfvb 5138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐺 x dom 𝐺) → ((𝐺x) = y ↔ ⟨x, y 𝐺))
3024, 28, 29syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → ((𝐺x) = y ↔ ⟨x, y 𝐺))
3130bicomd 129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (⟨x, y 𝐺 ↔ (𝐺x) = y))
32 df-br 3735 . . . . . . . . . . . . 13 (x𝐺y ↔ ⟨x, y 𝐺)
33 eqcom 2020 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (𝐺x) ↔ (𝐺x) = y)
3431, 32, 333bitr4g 212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x𝐺yy = (𝐺x)))
3534biimpd 132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x𝐺yy = (𝐺x)))
36 fnfun 4918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn A → Fun 𝐹)
3710, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → Fun 𝐹)
3837adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → Fun 𝐹)
39 fndm 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 Fn A → dom 𝐹 = A)
4010, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → dom 𝐹 = A)
4140eleq2d 2085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (x dom 𝐹x A))
4241biimpar 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → x dom 𝐹)
43 funopfvb 5138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → ((𝐹x) = y ↔ ⟨x, y 𝐹))
4438, 42, 43syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → ((𝐹x) = y ↔ ⟨x, y 𝐹))
45 df-br 3735 . . . . . . . . . . . . . 14 (x𝐹y ↔ ⟨x, y 𝐹)
4644, 45syl6rbbr 188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x𝐹y ↔ (𝐹x) = y))
47 vex 2534 . . . . . . . . . . . . . 14 y V
4847, 20brcnv 4441 . . . . . . . . . . . . 13 (y𝐹xx𝐹y)
49 eqcom 2020 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (𝐹x) ↔ (𝐹x) = y)
5046, 48, 493bitr4g 212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (y𝐹xy = (𝐹x)))
5150biimpd 132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (y𝐹xy = (𝐹x)))
5235, 51anim12d 318 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → ((x𝐺y y𝐹x) → (y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
5352eximdv 1738 . . . . . . . . 9 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (y(x𝐺y y𝐹x) → y(y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
5421, 53syl5bi 141 . . . . . . . 8 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x(𝐹𝐺)xy(y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
556anim1i 323 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:A1-1B x A) → (𝐺 Fn A x A))
5655adantll 448 . . . . . . . . 9 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (𝐺 Fn A x A))
57 funfvex 5113 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺 x dom 𝐺) → (𝐺x) V)
5857funfni 4921 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn A x A) → (𝐺x) V)
59 eqvincg 2641 . . . . . . . . 9 ((𝐺x) V → ((𝐺x) = (𝐹x) ↔ y(y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
6056, 58, 593syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → ((𝐺x) = (𝐹x) ↔ y(y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
6154, 60sylibrd 158 . . . . . . 7 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x(𝐹𝐺)x → (𝐺x) = (𝐹x)))
6261adantlr 449 . . . . . 6 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → (x(𝐹𝐺)x → (𝐺x) = (𝐹x)))
6319, 62mpd 13 . . . . 5 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → (𝐺x) = (𝐹x))
648, 11, 63eqfnfvd 5189 . . . 4 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) → 𝐺 = 𝐹)
6564eqcomd 2023 . . 3 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) → 𝐹 = 𝐺)
6665ex 108 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ A) → 𝐹 = 𝐺))
675, 66impbid 120 1 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  Vcvv 2531  ⟨cop 3349   class class class wbr 3734   I cid 3995  ◡ccnv 4267  dom cdm 4268   ↾ cres 4270   ∘ ccom 4272  Fun wfun 4819   Fn wfn 4820  –1-1→wf1 4822  ‘cfv 4825 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833 This theorem is referenced by: (None)
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