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Theorem f1eqcocnv 5374
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5099 . . . 4 (𝐹:A1-1B → (𝐹𝐹) = ( I ↾ A))
2 coeq2 4437 . . . . 5 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐹) = (𝐹𝐺))
32eqeq1d 2045 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹𝐹) = ( I ↾ A) ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))
41, 3syl5ibcom 144 . . 3 (𝐹:A1-1B → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))
54adantr 261 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))
6 f1fn 5036 . . . . . . 7 (𝐺:A1-1B𝐺 Fn A)
76adantl 262 . . . . . 6 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → 𝐺 Fn A)
87adantr 261 . . . . 5 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) → 𝐺 Fn A)
9 f1fn 5036 . . . . . . 7 (𝐹:A1-1B𝐹 Fn A)
109adantr 261 . . . . . 6 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → 𝐹 Fn A)
1110adantr 261 . . . . 5 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) → 𝐹 Fn A)
12 equid 1586 . . . . . . . . . 10 x = x
13 resieq 4565 . . . . . . . . . 10 ((x A x A) → (x( I ↾ A)xx = x))
1412, 13mpbiri 157 . . . . . . . . 9 ((x A x A) → x( I ↾ A)x)
1514anidms 377 . . . . . . . 8 (x Ax( I ↾ A)x)
1615adantl 262 . . . . . . 7 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → x( I ↾ A)x)
17 breq 3757 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ A) → (x(𝐹𝐺)xx( I ↾ A)x))
1817ad2antlr 458 . . . . . . 7 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → (x(𝐹𝐺)xx( I ↾ A)x))
1916, 18mpbird 156 . . . . . 6 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → x(𝐹𝐺)x)
20 vex 2554 . . . . . . . . . 10 x V
2120, 20brco 4449 . . . . . . . . 9 (x(𝐹𝐺)xy(x𝐺y y𝐹x))
22 fnfun 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn A → Fun 𝐺)
237, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → Fun 𝐺)
2423adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → Fun 𝐺)
25 fndm 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 Fn A → dom 𝐺 = A)
267, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → dom 𝐺 = A)
2726eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (x dom 𝐺x A))
2827biimpar 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → x dom 𝐺)
29 funopfvb 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐺 x dom 𝐺) → ((𝐺x) = y ↔ ⟨x, y 𝐺))
3024, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → ((𝐺x) = y ↔ ⟨x, y 𝐺))
3130bicomd 129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (⟨x, y 𝐺 ↔ (𝐺x) = y))
32 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . 13 (x𝐺y ↔ ⟨x, y 𝐺)
33 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (𝐺x) ↔ (𝐺x) = y)
3431, 32, 333bitr4g 212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x𝐺yy = (𝐺x)))
3534biimpd 132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x𝐺yy = (𝐺x)))
36 fnfun 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn A → Fun 𝐹)
3710, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → Fun 𝐹)
3837adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → Fun 𝐹)
39 fndm 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 Fn A → dom 𝐹 = A)
4010, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → dom 𝐹 = A)
4140eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (x dom 𝐹x A))
4241biimpar 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → x dom 𝐹)
43 funopfvb 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → ((𝐹x) = y ↔ ⟨x, y 𝐹))
4438, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → ((𝐹x) = y ↔ ⟨x, y 𝐹))
45 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . . 14 (x𝐹y ↔ ⟨x, y 𝐹)
4644, 45syl6rbbr 188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x𝐹y ↔ (𝐹x) = y))
47 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 y V
4847, 20brcnv 4461 . . . . . . . . . . . . 13 (y𝐹xx𝐹y)
49 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (𝐹x) ↔ (𝐹x) = y)
5046, 48, 493bitr4g 212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (y𝐹xy = (𝐹x)))
5150biimpd 132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (y𝐹xy = (𝐹x)))
5235, 51anim12d 318 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → ((x𝐺y y𝐹x) → (y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
5352eximdv 1757 . . . . . . . . 9 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (y(x𝐺y y𝐹x) → y(y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
5421, 53syl5bi 141 . . . . . . . 8 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x(𝐹𝐺)xy(y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
556anim1i 323 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:A1-1B x A) → (𝐺 Fn A x A))
5655adantll 445 . . . . . . . . 9 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (𝐺 Fn A x A))
57 funfvex 5135 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺 x dom 𝐺) → (𝐺x) V)
5857funfni 4942 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn A x A) → (𝐺x) V)
59 eqvincg 2662 . . . . . . . . 9 ((𝐺x) V → ((𝐺x) = (𝐹x) ↔ y(y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
6056, 58, 593syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → ((𝐺x) = (𝐹x) ↔ y(y = (𝐺x) y = (𝐹x))))
6154, 60sylibrd 158 . . . . . . 7 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) x A) → (x(𝐹𝐺)x → (𝐺x) = (𝐹x)))
6261adantlr 446 . . . . . 6 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → (x(𝐹𝐺)x → (𝐺x) = (𝐹x)))
6319, 62mpd 13 . . . . 5 ((((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) x A) → (𝐺x) = (𝐹x))
648, 11, 63eqfnfvd 5211 . . . 4 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) → 𝐺 = 𝐹)
6564eqcomd 2042 . . 3 (((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)) → 𝐹 = 𝐺)
6665ex 108 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ A) → 𝐹 = 𝐺))
675, 66impbid 120 1 ((𝐹:A1-1B 𝐺:A1-1B) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  cop 3370   class class class wbr 3755   I cid 4016  ccnv 4287  dom cdm 4288  cres 4290  ccom 4292  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  1-1wf1 4842  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
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