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Theorem foeqcnvco 5351
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
foeqcnvco ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))

Proof of Theorem foeqcnvco
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fococnv2 5073 . . . 4 (𝐹:AontoB → (𝐹𝐹) = ( I ↾ B))
2 cnveq 4432 . . . . . 6 (𝐹 = 𝐺𝐹 = 𝐺)
32coeq2d 4421 . . . . 5 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐹) = (𝐹𝐺))
43eqeq1d 2026 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹𝐹) = ( I ↾ B) ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))
51, 4syl5ibcom 144 . . 3 (𝐹:AontoB → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))
65adantr 261 . 2 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))
7 fofn 5029 . . . . 5 (𝐹:AontoB𝐹 Fn A)
87ad2antrr 460 . . . 4 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐹 Fn A)
9 fofn 5029 . . . . 5 (𝐺:AontoB𝐺 Fn A)
109ad2antlr 462 . . . 4 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐺 Fn A)
119adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → 𝐺 Fn A)
12 fnopfv 5218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn A x A) → ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺)
1311, 12sylan 267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺)
149anim1i 323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:AontoB x A) → (𝐺 Fn A x A))
1514adantll 448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺 Fn A x A))
16 funfvex 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐺 x dom 𝐺) → (𝐺x) V)
1716funfni 4921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 Fn A x A) → (𝐺x) V)
18 vex 2534 . . . . . . . . . . . . . 14 x V
19 brcnvg 4439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺x) V x V) → ((𝐺x)𝐺xx𝐺(𝐺x)))
2017, 18, 19sylancl 394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Fn A x A) → ((𝐺x)𝐺xx𝐺(𝐺x)))
21 df-br 3735 . . . . . . . . . . . . 13 (x𝐺(𝐺x) ↔ ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺)
2220, 21syl6bb 185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn A x A) → ((𝐺x)𝐺x ↔ ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺))
2315, 22syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ((𝐺x)𝐺x ↔ ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺))
2413, 23mpbird 156 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺x)𝐺x)
257adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → 𝐹 Fn A)
26 fnopfv 5218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn A x A) → ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
2725, 26sylan 267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
28 df-br 3735 . . . . . . . . . . 11 (x𝐹(𝐹x) ↔ ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
2927, 28sylibr 137 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → x𝐹(𝐹x))
30 breq2 3738 . . . . . . . . . . . 12 (y = x → ((𝐺x)𝐺y ↔ (𝐺x)𝐺x))
31 breq1 3737 . . . . . . . . . . . 12 (y = x → (y𝐹(𝐹x) ↔ x𝐹(𝐹x)))
3230, 31anbi12d 445 . . . . . . . . . . 11 (y = x → (((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x)) ↔ ((𝐺x)𝐺x x𝐹(𝐹x))))
3318, 32spcev 2620 . . . . . . . . . 10 (((𝐺x)𝐺x x𝐹(𝐹x)) → y((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x)))
3424, 29, 33syl2anc 393 . . . . . . . . 9 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → y((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x)))
3515, 17syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺x) V)
367anim1i 323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:AontoB x A) → (𝐹 Fn A x A))
3736adantlr 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐹 Fn A x A))
38 funfvex 5113 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
3938funfni 4921 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn A x A) → (𝐹x) V)
4037, 39syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐹x) V)
41 brcog 4425 . . . . . . . . . 10 (((𝐺x) V (𝐹x) V) → ((𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x) ↔ y((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x))))
4235, 40, 41syl2anc 393 . . . . . . . . 9 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ((𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x) ↔ y((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x))))
4334, 42mpbird 156 . . . . . . . 8 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x))
4443adantlr 449 . . . . . . 7 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → (𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x))
45 breq 3736 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ B) → ((𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x) ↔ (𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x)))
4645ad2antlr 462 . . . . . . 7 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → ((𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x) ↔ (𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x)))
4744, 46mpbid 135 . . . . . 6 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → (𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x))
48 fof 5027 . . . . . . . . . 10 (𝐺:AontoB𝐺:AB)
4948adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → 𝐺:AB)
5049ffvelrnda 5223 . . . . . . . 8 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺x) B)
51 fof 5027 . . . . . . . . . 10 (𝐹:AontoB𝐹:AB)
5251adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → 𝐹:AB)
5352ffvelrnda 5223 . . . . . . . 8 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐹x) B)
54 resieq 4545 . . . . . . . 8 (((𝐺x) B (𝐹x) B) → ((𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x) ↔ (𝐺x) = (𝐹x)))
5550, 53, 54syl2anc 393 . . . . . . 7 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ((𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x) ↔ (𝐺x) = (𝐹x)))
5655adantlr 449 . . . . . 6 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → ((𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x) ↔ (𝐺x) = (𝐹x)))
5747, 56mpbid 135 . . . . 5 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → (𝐺x) = (𝐹x))
5857eqcomd 2023 . . . 4 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → (𝐹x) = (𝐺x))
598, 10, 58eqfnfvd 5189 . . 3 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐹 = 𝐺)
6059ex 108 . 2 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ B) → 𝐹 = 𝐺))
616, 60impbid 120 1 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  Vcvv 2531  cop 3349   class class class wbr 3734   I cid 3995  ccnv 4267  cres 4270  ccom 4272   Fn wfn 4820  wf 4821  ontowfo 4823  cfv 4825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-fo 4831  df-fv 4833
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