Theorem foeqcnvco 5351

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
foeqcnvco	⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)))

Proof of Theorem foeqcnvco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fococnv2 5073	. . . 4 ⊢ (𝐹:A–onto→B → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ B))
2		cnveq 4432	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ◡𝐹 = ◡𝐺)
3	2	coeq2d 4421	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐺))
4	3	eqeq1d 2026	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ B) ↔ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)))
5	1, 4	syl5ibcom 144	. . 3 ⊢ (𝐹:A–onto→B → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)))
6	5	adantr 261	. 2 ⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)))
7		fofn 5029	. . . . 5 ⊢ (𝐹:A–onto→B → 𝐹 Fn A)
8	7	ad2antrr 460	. . . 4 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐹 Fn A)
9		fofn 5029	. . . . 5 ⊢ (𝐺:A–onto→B → 𝐺 Fn A)
10	9	ad2antlr 462	. . . 4 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐺 Fn A)
11	9	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) → 𝐺 Fn A)
12		fnopfv 5218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 Fn A ∧ x ∈ A) → ⟨x, (𝐺‘x)⟩ ∈ 𝐺)
13	11, 12	sylan 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → ⟨x, (𝐺‘x)⟩ ∈ 𝐺)
14	9	anim1i 323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺:A–onto→B ∧ x ∈ A) → (𝐺 Fn A ∧ x ∈ A))
15	14	adantll 448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → (𝐺 Fn A ∧ x ∈ A))
16		funfvex 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ x ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘x) ∈ V)
17	16	funfni 4921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 Fn A ∧ x ∈ A) → (𝐺‘x) ∈ V)
18		vex 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ x ∈ V
19		brcnvg 4439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺‘x) ∈ V ∧ x ∈ V) → ((𝐺‘x)◡𝐺x ↔ x𝐺(𝐺‘x)))
20	17, 18, 19	sylancl 394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 Fn A ∧ x ∈ A) → ((𝐺‘x)◡𝐺x ↔ x𝐺(𝐺‘x)))
21		df-br 3735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x𝐺(𝐺‘x) ↔ ⟨x, (𝐺‘x)⟩ ∈ 𝐺)
22	20, 21	syl6bb 185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 Fn A ∧ x ∈ A) → ((𝐺‘x)◡𝐺x ↔ ⟨x, (𝐺‘x)⟩ ∈ 𝐺))
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → ((𝐺‘x)◡𝐺x ↔ ⟨x, (𝐺‘x)⟩ ∈ 𝐺))
24	13, 23	mpbird 156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → (𝐺‘x)◡𝐺x)
25	7	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) → 𝐹 Fn A)
26		fnopfv 5218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn A ∧ x ∈ A) → ⟨x, (𝐹‘x)⟩ ∈ 𝐹)
27	25, 26	sylan 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → ⟨x, (𝐹‘x)⟩ ∈ 𝐹)
28		df-br 3735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x𝐹(𝐹‘x) ↔ ⟨x, (𝐹‘x)⟩ ∈ 𝐹)
29	27, 28	sylibr 137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → x𝐹(𝐹‘x))
30		breq2 3738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = x → ((𝐺‘x)◡𝐺y ↔ (𝐺‘x)◡𝐺x))
31		breq1 3737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = x → (y𝐹(𝐹‘x) ↔ x𝐹(𝐹‘x)))
32	30, 31	anbi12d 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = x → (((𝐺‘x)◡𝐺y ∧ y𝐹(𝐹‘x)) ↔ ((𝐺‘x)◡𝐺x ∧ x𝐹(𝐹‘x))))
33	18, 32	spcev 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘x)◡𝐺x ∧ x𝐹(𝐹‘x)) → ∃y((𝐺‘x)◡𝐺y ∧ y𝐹(𝐹‘x)))
34	24, 29, 33	syl2anc 393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → ∃y((𝐺‘x)◡𝐺y ∧ y𝐹(𝐹‘x)))
35	15, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → (𝐺‘x) ∈ V)
36	7	anim1i 323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ x ∈ A) → (𝐹 Fn A ∧ x ∈ A))
37	36	adantlr 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → (𝐹 Fn A ∧ x ∈ A))
38		funfvex 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ x ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘x) ∈ V)
39	38	funfni 4921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn A ∧ x ∈ A) → (𝐹‘x) ∈ V)
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → (𝐹‘x) ∈ V)
41		brcog 4425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘x) ∈ V ∧ (𝐹‘x) ∈ V) → ((𝐺‘x)(𝐹 ∘ ◡𝐺)(𝐹‘x) ↔ ∃y((𝐺‘x)◡𝐺y ∧ y𝐹(𝐹‘x))))
42	35, 40, 41	syl2anc 393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → ((𝐺‘x)(𝐹 ∘ ◡𝐺)(𝐹‘x) ↔ ∃y((𝐺‘x)◡𝐺y ∧ y𝐹(𝐹‘x))))
43	34, 42	mpbird 156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → (𝐺‘x)(𝐹 ∘ ◡𝐺)(𝐹‘x))
44	43	adantlr 449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) ∧ x ∈ A) → (𝐺‘x)(𝐹 ∘ ◡𝐺)(𝐹‘x))
45		breq 3736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B) → ((𝐺‘x)(𝐹 ∘ ◡𝐺)(𝐹‘x) ↔ (𝐺‘x)( I ↾ B)(𝐹‘x)))
46	45	ad2antlr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) ∧ x ∈ A) → ((𝐺‘x)(𝐹 ∘ ◡𝐺)(𝐹‘x) ↔ (𝐺‘x)( I ↾ B)(𝐹‘x)))
47	44, 46	mpbid 135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) ∧ x ∈ A) → (𝐺‘x)( I ↾ B)(𝐹‘x))
48		fof 5027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:A–onto→B → 𝐺:A⟶B)
49	48	adantl 262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) → 𝐺:A⟶B)
50	49	ffvelrnda 5223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → (𝐺‘x) ∈ B)
51		fof 5027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:A–onto→B → 𝐹:A⟶B)
52	51	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) → 𝐹:A⟶B)
53	52	ffvelrnda 5223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → (𝐹‘x) ∈ B)
54		resieq 4545	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘x) ∈ B ∧ (𝐹‘x) ∈ B) → ((𝐺‘x)( I ↾ B)(𝐹‘x) ↔ (𝐺‘x) = (𝐹‘x)))
55	50, 53, 54	syl2anc 393	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ x ∈ A) → ((𝐺‘x)( I ↾ B)(𝐹‘x) ↔ (𝐺‘x) = (𝐹‘x)))
56	55	adantlr 449	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) ∧ x ∈ A) → ((𝐺‘x)( I ↾ B)(𝐹‘x) ↔ (𝐺‘x) = (𝐹‘x)))
57	47, 56	mpbid 135	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) ∧ x ∈ A) → (𝐺‘x) = (𝐹‘x))
58	57	eqcomd 2023	. . . 4 ⊢ ((((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) ∧ x ∈ A) → (𝐹‘x) = (𝐺‘x))
59	8, 10, 58	eqfnfvd 5189	. . 3 ⊢ (((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐹 = 𝐺)
60	59	ex 108	. 2 ⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B) → 𝐹 = 𝐺))
61	6, 60	impbid 120	1 ⊢ ((𝐹:A–onto→B ∧ 𝐺:A–onto→B) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ B)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  Vcvv 2531  ⟨cop 3349   class class class wbr 3734   I cid 3995  ^◡ccnv 4267   ↾ cres 4270   ∘ ccom 4272   Fn wfn 4820  ⟶wf 4821  –onto→wfo 4823  ‘cfv 4825

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-fo 4831  df-fv 4833

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