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Theorem foeqcnvco 5373
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
foeqcnvco ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))

Proof of Theorem foeqcnvco
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fococnv2 5095 . . . 4 (𝐹:AontoB → (𝐹𝐹) = ( I ↾ B))
2 cnveq 4452 . . . . . 6 (𝐹 = 𝐺𝐹 = 𝐺)
32coeq2d 4441 . . . . 5 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐹) = (𝐹𝐺))
43eqeq1d 2045 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹𝐹) = ( I ↾ B) ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))
51, 4syl5ibcom 144 . . 3 (𝐹:AontoB → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))
65adantr 261 . 2 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))
7 fofn 5051 . . . . 5 (𝐹:AontoB𝐹 Fn A)
87ad2antrr 457 . . . 4 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐹 Fn A)
9 fofn 5051 . . . . 5 (𝐺:AontoB𝐺 Fn A)
109ad2antlr 458 . . . 4 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐺 Fn A)
119adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → 𝐺 Fn A)
12 fnopfv 5240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn A x A) → ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺)
1311, 12sylan 267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺)
149anim1i 323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:AontoB x A) → (𝐺 Fn A x A))
1514adantll 445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺 Fn A x A))
16 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐺 x dom 𝐺) → (𝐺x) V)
1716funfni 4942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 Fn A x A) → (𝐺x) V)
18 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 x V
19 brcnvg 4459 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺x) V x V) → ((𝐺x)𝐺xx𝐺(𝐺x)))
2017, 18, 19sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Fn A x A) → ((𝐺x)𝐺xx𝐺(𝐺x)))
21 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . 13 (x𝐺(𝐺x) ↔ ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺)
2220, 21syl6bb 185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn A x A) → ((𝐺x)𝐺x ↔ ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺))
2315, 22syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ((𝐺x)𝐺x ↔ ⟨x, (𝐺x)⟩ 𝐺))
2413, 23mpbird 156 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺x)𝐺x)
257adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → 𝐹 Fn A)
26 fnopfv 5240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn A x A) → ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
2725, 26sylan 267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
28 df-br 3756 . . . . . . . . . . 11 (x𝐹(𝐹x) ↔ ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
2927, 28sylibr 137 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → x𝐹(𝐹x))
30 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12 (y = x → ((𝐺x)𝐺y ↔ (𝐺x)𝐺x))
31 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12 (y = x → (y𝐹(𝐹x) ↔ x𝐹(𝐹x)))
3230, 31anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (y = x → (((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x)) ↔ ((𝐺x)𝐺x x𝐹(𝐹x))))
3318, 32spcev 2641 . . . . . . . . . 10 (((𝐺x)𝐺x x𝐹(𝐹x)) → y((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x)))
3424, 29, 33syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → y((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x)))
3515, 17syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺x) V)
367anim1i 323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:AontoB x A) → (𝐹 Fn A x A))
3736adantlr 446 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐹 Fn A x A))
38 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
3938funfni 4942 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn A x A) → (𝐹x) V)
4037, 39syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐹x) V)
41 brcog 4445 . . . . . . . . . 10 (((𝐺x) V (𝐹x) V) → ((𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x) ↔ y((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x))))
4235, 40, 41syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ((𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x) ↔ y((𝐺x)𝐺y y𝐹(𝐹x))))
4334, 42mpbird 156 . . . . . . . 8 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x))
4443adantlr 446 . . . . . . 7 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → (𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x))
45 breq 3757 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ B) → ((𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x) ↔ (𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x)))
4645ad2antlr 458 . . . . . . 7 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → ((𝐺x)(𝐹𝐺)(𝐹x) ↔ (𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x)))
4744, 46mpbid 135 . . . . . 6 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → (𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x))
48 fof 5049 . . . . . . . . . 10 (𝐺:AontoB𝐺:AB)
4948adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → 𝐺:AB)
5049ffvelrnda 5245 . . . . . . . 8 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐺x) B)
51 fof 5049 . . . . . . . . . 10 (𝐹:AontoB𝐹:AB)
5251adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → 𝐹:AB)
5352ffvelrnda 5245 . . . . . . . 8 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → (𝐹x) B)
54 resieq 4565 . . . . . . . 8 (((𝐺x) B (𝐹x) B) → ((𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x) ↔ (𝐺x) = (𝐹x)))
5550, 53, 54syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) x A) → ((𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x) ↔ (𝐺x) = (𝐹x)))
5655adantlr 446 . . . . . 6 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → ((𝐺x)( I ↾ B)(𝐹x) ↔ (𝐺x) = (𝐹x)))
5747, 56mpbid 135 . . . . 5 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → (𝐺x) = (𝐹x))
5857eqcomd 2042 . . . 4 ((((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) x A) → (𝐹x) = (𝐺x))
598, 10, 58eqfnfvd 5211 . . 3 (((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)) → 𝐹 = 𝐺)
6059ex 108 . 2 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ B) → 𝐹 = 𝐺))
616, 60impbid 120 1 ((𝐹:AontoB 𝐺:AontoB) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  cop 3370   class class class wbr 3755   I cid 4016  ccnv 4287  cres 4290  ccom 4292   Fn wfn 4840  wf 4841  ontowfo 4843  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851  df-fv 4853
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