Theorem brco 4506

Description: Binary relation on a composition. (Contributed by NM, 21-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelco.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelco.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brco	⊢ (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem brco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelco.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelco.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		brcog 4502	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 402	1 ⊢ (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   class class class wbr 3764   ∘ ccom 4349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-co 4354

This theorem is referenced by:  opelco  4507  cnvco  4520  resco  4825  imaco  4826  rnco  4827  coass  4839  f1eqcocnv  5431