Theorem f1eqcocnv 5374

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1eqcocnv	|- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> ( F = G <-> ( `' F o. G) = ( _I |` A)))

Proof of Theorem f1eqcocnv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1cocnv1 5099	. . . 4 |- ( F :A -1-1->B -> ( `' F o. F) = ( _I |` A))
2		coeq2 4437	. . . . 5 |- ( F = G -> ( `' F o. F) = ( `' F o. G))
3	2	eqeq1d 2045	. . . 4 |- ( F = G -> (( `' F o. F) = ( _I |` A) <-> ( `' F o. G) = ( _I |` A)))
4	1, 3	syl5ibcom 144	. . 3 |- ( F :A -1-1->B -> ( F = G -> ( `' F o. G) = ( _I |` A)))
5	4	adantr 261	. 2 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> ( F = G -> ( `' F o. G) = ( _I |` A)))
6		f1fn 5036	. . . . . . 7 |- ( G :A -1-1->B -> G Fn A)
7	6	adantl 262	. . . . . 6 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> G Fn A)
8	7	adantr 261	. . . . 5 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) -> G Fn A)
9		f1fn 5036	. . . . . . 7 |- ( F :A -1-1->B -> F Fn A)
10	9	adantr 261	. . . . . 6 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> F Fn A)
11	10	adantr 261	. . . . 5 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) -> F Fn A)
12		equid 1586	. . . . . . . . . 10 |- x = x
13		resieq 4565	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. A /\ x e. A) -> (x( _I |` A)x <-> x = x))
14	12, 13	mpbiri 157	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ x e. A) -> x( _I |` A)x)
15	14	anidms 377	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> x( _I |` A)x)
16	15	adantl 262	. . . . . . 7 |- (((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) /\ x e. A) -> x( _I |` A)x)
17		breq 3757	. . . . . . . 8 |- (( `' F o. G) = ( _I |` A) -> (x( `' F o. G)x <-> x( _I |` A)x))
18	17	ad2antlr 458	. . . . . . 7 |- (((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) /\ x e. A) -> (x( `' F o. G)x <-> x( _I |` A)x))
19	16, 18	mpbird 156	. . . . . 6 |- (((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) /\ x e. A) -> x( `' F o. G)x)
20		vex 2554	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
21	20, 20	brco 4449	. . . . . . . . 9 |- (x( `' F o. G)x <-> E.y(x Gy /\ y `' Fx))
22		fnfun 4939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G Fn A -> Fun G)
23	7, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> Fun G)
24	23	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> Fun G)
25		fndm 4941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G Fn A -> dom G = A)
26	7, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> dom G = A)
27	26	eleq2d 2104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> (x e. dom G <-> x e. A))
28	27	biimpar 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> x e. dom G)
29		funopfvb 5160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( Fun G /\ x e. dom G) -> (( G ` x) = y <-> <.x , y >. e. G))
30	24, 28, 29	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (( G ` x) = y <-> <.x , y >. e. G))
31	30	bicomd 129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> ( <.x , y >. e. G <-> ( G ` x) = y))
32		df-br 3756	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x Gy <-> <.x , y >. e. G)
33		eqcom 2039	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = ( G ` x) <-> ( G ` x) = y)
34	31, 32, 33	3bitr4g 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (x Gy <-> y = ( G ` x)))
35	34	biimpd 132	. . . . . . . . . . 11 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (x Gy -> y = ( G ` x)))
36		fnfun 4939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn A -> Fun F)
37	10, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> Fun F)
38	37	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> Fun F)
39		fndm 4941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn A -> dom F = A)
40	10, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> dom F = A)
41	40	eleq2d 2104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> (x e. dom F <-> x e. A))
42	41	biimpar 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> x e. dom F)
43		funopfvb 5160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( Fun F /\ x e. dom F) -> (( F ` x) = y <-> <.x , y >. e. F))
44	38, 42, 43	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (( F ` x) = y <-> <.x , y >. e. F))
45		df-br 3756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x Fy <-> <.x , y >. e. F)
46	44, 45	syl6rbbr 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (x Fy <-> ( F ` x) = y))
47		vex 2554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
48	47, 20	brcnv 4461	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y `' Fx <-> x Fy)
49		eqcom 2039	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = ( F ` x) <-> ( F ` x) = y)
50	46, 48, 49	3bitr4g 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (y `' Fx <-> y = ( F ` x)))
51	50	biimpd 132	. . . . . . . . . . 11 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (y `' Fx -> y = ( F ` x)))
52	35, 51	anim12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> ((x Gy /\ y `' Fx) -> (y = ( G ` x) /\ y = ( F ` x))))
53	52	eximdv 1757	. . . . . . . . 9 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (E.y(x Gy /\ y `' Fx) -> E.y(y = ( G ` x) /\ y = ( F ` x))))
54	21, 53	syl5bi 141	. . . . . . . 8 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (x( `' F o. G)x -> E.y(y = ( G ` x) /\ y = ( F ` x))))
55	6	anim1i 323	. . . . . . . . . 10 |- (( G :A -1-1->B /\ x e. A) -> ( G Fn A /\ x e. A))
56	55	adantll 445	. . . . . . . . 9 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> ( G Fn A /\ x e. A))
57		funfvex 5135	. . . . . . . . . 10 |- (( Fun G /\ x e. dom G) -> ( G ` x) e. _V)
58	57	funfni 4942	. . . . . . . . 9 |- (( G Fn A /\ x e. A) -> ( G ` x) e. _V)
59		eqvincg 2662	. . . . . . . . 9 |- (( G ` x) e. _V -> (( G ` x) = ( F ` x) <-> E.y(y = ( G ` x) /\ y = ( F ` x))))
60	56, 58, 59	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (( G ` x) = ( F ` x) <-> E.y(y = ( G ` x) /\ y = ( F ` x))))
61	54, 60	sylibrd 158	. . . . . . 7 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ x e. A) -> (x( `' F o. G)x -> ( G ` x) = ( F ` x)))
62	61	adantlr 446	. . . . . 6 |- (((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) /\ x e. A) -> (x( `' F o. G)x -> ( G ` x) = ( F ` x)))
63	19, 62	mpd 13	. . . . 5 |- (((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) /\ x e. A) -> ( G ` x) = ( F ` x))
64	8, 11, 63	eqfnfvd 5211	. . . 4 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) -> G = F)
65	64	eqcomd 2042	. . 3 |- ((( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) /\ ( `' F o. G) = ( _I |` A)) -> F = G)
66	65	ex 108	. 2 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> (( `' F o. G) = ( _I |` A) -> F = G))
67	5, 66	impbid 120	1 |- (( F :A -1-1->B /\ G :A -1-1->B) -> ( F = G <-> ( `' F o. G) = ( _I |` A)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   _I cid 4016   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   |` cres 4290   o. ccom 4292   Fun wfun 4839   Fn wfn 4840   -1-1->wf1 4842   ` cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)