ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1eqcocnv Unicode version

Theorem f1eqcocnv 5374
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv  F : -1-1->  G : -1-1->  F  G  `' F  o.  G  _I  |`

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5099 . . . 4  F : -1-1->  `' F  o.  F  _I  |`
2 coeq2 4437 . . . . 5  F  G  `' F  o.  F  `' F  o.  G
32eqeq1d 2045 . . . 4  F  G  `' F  o.  F  _I  |`  `' F  o.  G  _I  |`
41, 3syl5ibcom 144 . . 3  F : -1-1->  F  G  `' F  o.  G  _I  |`
54adantr 261 . 2  F : -1-1->  G : -1-1->  F  G  `' F  o.  G  _I  |`
6 f1fn 5036 . . . . . . 7  G : -1-1->  G  Fn
76adantl 262 . . . . . 6  F : -1-1->  G : -1-1->  G  Fn
87adantr 261 . . . . 5  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  G  Fn
9 f1fn 5036 . . . . . . 7  F : -1-1->  F  Fn
109adantr 261 . . . . . 6  F : -1-1->  G : -1-1->  F  Fn
1110adantr 261 . . . . 5  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  F  Fn
12 equid 1586 . . . . . . . . . 10
13 resieq 4565 . . . . . . . . . 10  _I  |`
1412, 13mpbiri 157 . . . . . . . . 9  _I  |`
1514anidms 377 . . . . . . . 8  _I  |`
1615adantl 262 . . . . . . 7  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  _I  |`
17 breq 3757 . . . . . . . 8  `' F  o.  G  _I  |`  `' F  o.  G  _I  |`
1817ad2antlr 458 . . . . . . 7  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  `' F  o.  G  _I  |`
1916, 18mpbird 156 . . . . . 6  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  `' F  o.  G
20 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
2120, 20brco 4449 . . . . . . . . 9  `' F  o.  G  G  `' F
22 fnfun 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  G  Fn  Fun  G
237, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  F : -1-1->  G : -1-1->  Fun  G
2423adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  F : -1-1->  G : -1-1->  Fun  G
25 fndm 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  G  Fn  dom  G
267, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  F : -1-1->  G : -1-1->  dom  G
2726eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  F : -1-1->  G : -1-1-> 
dom  G
2827biimpar 281 . . . . . . . . . . . . . . 15  F : -1-1->  G : -1-1->  dom  G
29 funopfvb 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fun  G  dom  G  G `  <. ,  >.  G
3024, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14  F : -1-1->  G : -1-1->  G `
 <. , 
>.  G
3130bicomd 129 . . . . . . . . . . . . 13  F : -1-1->  G : -1-1->  <. ,  >.  G  G `
32 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . 13  G  <. ,  >.  G
33 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . 13  G `  G `
3431, 32, 333bitr4g 212 . . . . . . . . . . . 12  F : -1-1->  G : -1-1->  G  G `
3534biimpd 132 . . . . . . . . . . 11  F : -1-1->  G : -1-1->  G  G `
36 fnfun 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  F  Fn  Fun  F
3710, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  F : -1-1->  G : -1-1->  Fun  F
3837adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  F : -1-1->  G : -1-1->  Fun  F
39 fndm 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  F  Fn  dom  F
4010, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  F : -1-1->  G : -1-1->  dom  F
4140eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  F : -1-1->  G : -1-1-> 
dom  F
4241biimpar 281 . . . . . . . . . . . . . . 15  F : -1-1->  G : -1-1->  dom  F
43 funopfvb 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fun  F  dom  F  F `  <. ,  >.  F
4438, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14  F : -1-1->  G : -1-1->  F `
 <. , 
>.  F
45 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . . 14  F  <. ,  >.  F
4644, 45syl6rbbr 188 . . . . . . . . . . . . 13  F : -1-1->  G : -1-1->  F  F `
47 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 
_V
4847, 20brcnv 4461 . . . . . . . . . . . . 13  `' F  F
49 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . 13  F `  F `
5046, 48, 493bitr4g 212 . . . . . . . . . . . 12  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  F `
5150biimpd 132 . . . . . . . . . . 11  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  F `
5235, 51anim12d 318 . . . . . . . . . 10  F : -1-1->  G : -1-1->  G  `' F  G `  F `
5352eximdv 1757 . . . . . . . . 9  F : -1-1->  G : -1-1->  G  `' F  G `  F `
5421, 53syl5bi 141 . . . . . . . 8  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  G `  F `
556anim1i 323 . . . . . . . . . 10  G : -1-1->  G  Fn
5655adantll 445 . . . . . . . . 9  F : -1-1->  G : -1-1->  G  Fn
57 funfvex 5135 . . . . . . . . . 10  Fun  G  dom  G  G `  _V
5857funfni 4942 . . . . . . . . 9  G  Fn  G `  _V
59 eqvincg 2662 . . . . . . . . 9  G `  _V  G `  F `  G `  F `
6056, 58, 593syl 17 . . . . . . . 8  F : -1-1->  G : -1-1->  G `
 F `  G `  F `
6154, 60sylibrd 158 . . . . . . 7  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  G `  F `
6261adantlr 446 . . . . . 6  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  `' F  o.  G  G `
 F `
6319, 62mpd 13 . . . . 5  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  G `  F `
648, 11, 63eqfnfvd 5211 . . . 4  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  G  F
6564eqcomd 2042 . . 3  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  F  G
6665ex 108 . 2  F : -1-1->  G : -1-1->  `' F  o.  G  _I  |`  F  G
675, 66impbid 120 1  F : -1-1->  G : -1-1->  F  G  `' F  o.  G  _I  |`
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755    _I cid 4016   `'ccnv 4287   dom cdm 4288    |` cres 4290    o. ccom 4292   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   -1-1->wf1 4842   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator