Theorem foeqcnvco 5373

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
foeqcnvco	|- (( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) -> ( F = G <-> ( F o. `' G) = ( _I |` B)))

Proof of Theorem foeqcnvco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fococnv2 5095	. . . 4 |- ( F :A -onto->B -> ( F o. `' F) = ( _I |` B))
2		cnveq 4452	. . . . . 6 |- ( F = G -> `' F = `' G)
3	2	coeq2d 4441	. . . . 5 |- ( F = G -> ( F o. `' F) = ( F o. `' G))
4	3	eqeq1d 2045	. . . 4 |- ( F = G -> (( F o. `' F) = ( _I |` B) <-> ( F o. `' G) = ( _I |` B)))
5	1, 4	syl5ibcom 144	. . 3 |- ( F :A -onto->B -> ( F = G -> ( F o. `' G) = ( _I |` B)))
6	5	adantr 261	. 2 |- (( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) -> ( F = G -> ( F o. `' G) = ( _I |` B)))
7		fofn 5051	. . . . 5 |- ( F :A -onto->B -> F Fn A)
8	7	ad2antrr 457	. . . 4 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) -> F Fn A)
9		fofn 5051	. . . . 5 |- ( G :A -onto->B -> G Fn A)
10	9	ad2antlr 458	. . . 4 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) -> G Fn A)
11	9	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 |- (( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) -> G Fn A)
12		fnopfv 5240	. . . . . . . . . . . 12 |- (( G Fn A /\ x e. A) -> <.x , ( G ` x) >. e. G)
13	11, 12	sylan 267	. . . . . . . . . . 11 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> <.x , ( G ` x) >. e. G)
14	9	anim1i 323	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( G :A -onto->B /\ x e. A) -> ( G Fn A /\ x e. A))
15	14	adantll 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> ( G Fn A /\ x e. A))
16		funfvex 5135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( Fun G /\ x e. dom G) -> ( G ` x) e. _V)
17	16	funfni 4942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( G Fn A /\ x e. A) -> ( G ` x) e. _V)
18		vex 2554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		brcnvg 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((( G ` x) e. _V /\ x e. _V) -> (( G ` x) `' Gx <-> x G( G ` x)))
20	17, 18, 19	sylancl 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( G Fn A /\ x e. A) -> (( G ` x) `' Gx <-> x G( G ` x)))
21		df-br 3756	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x G( G ` x) <-> <.x , ( G ` x) >. e. G)
22	20, 21	syl6bb 185	. . . . . . . . . . . 12 |- (( G Fn A /\ x e. A) -> (( G ` x) `' Gx <-> <.x , ( G ` x) >. e. G))
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> (( G ` x) `' Gx <-> <.x , ( G ` x) >. e. G))
24	13, 23	mpbird 156	. . . . . . . . . 10 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> ( G ` x) `' Gx)
25	7	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- (( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) -> F Fn A)
26		fnopfv 5240	. . . . . . . . . . . 12 |- (( F Fn A /\ x e. A) -> <.x , ( F ` x) >. e. F)
27	25, 26	sylan 267	. . . . . . . . . . 11 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> <.x , ( F ` x) >. e. F)
28		df-br 3756	. . . . . . . . . . 11 |- (x F( F ` x) <-> <.x , ( F ` x) >. e. F)
29	27, 28	sylibr 137	. . . . . . . . . 10 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> x F( F ` x))
30		breq2 3759	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = x -> (( G ` x) `' Gy <-> ( G ` x) `' Gx))
31		breq1 3758	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = x -> (y F( F ` x) <-> x F( F ` x)))
32	30, 31	anbi12d 442	. . . . . . . . . . 11 |- (y = x -> ((( G ` x) `' Gy /\ y F( F ` x)) <-> (( G ` x) `' Gx /\ x F( F ` x))))
33	18, 32	spcev 2641	. . . . . . . . . 10 |- ((( G ` x) `' Gx /\ x F( F ` x)) -> E.y(( G ` x) `' Gy /\ y F( F ` x)))
34	24, 29, 33	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> E.y(( G ` x) `' Gy /\ y F( F ` x)))
35	15, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> ( G ` x) e. _V)
36	7	anim1i 323	. . . . . . . . . . . 12 |- (( F :A -onto->B /\ x e. A) -> ( F Fn A /\ x e. A))
37	36	adantlr 446	. . . . . . . . . . 11 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> ( F Fn A /\ x e. A))
38		funfvex 5135	. . . . . . . . . . . 12 |- (( Fun F /\ x e. dom F) -> ( F ` x) e. _V)
39	38	funfni 4942	. . . . . . . . . . 11 |- (( F Fn A /\ x e. A) -> ( F ` x) e. _V)
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> ( F ` x) e. _V)
41		brcog 4445	. . . . . . . . . 10 |- ((( G ` x) e. _V /\ ( F ` x) e. _V) -> (( G ` x)( F o. `' G)( F ` x) <-> E.y(( G ` x) `' Gy /\ y F( F ` x))))
42	35, 40, 41	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> (( G ` x)( F o. `' G)( F ` x) <-> E.y(( G ` x) `' Gy /\ y F( F ` x))))
43	34, 42	mpbird 156	. . . . . . . 8 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> ( G ` x)( F o. `' G)( F ` x))
44	43	adantlr 446	. . . . . . 7 |- (((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) /\ x e. A) -> ( G ` x)( F o. `' G)( F ` x))
45		breq 3757	. . . . . . . 8 |- (( F o. `' G) = ( _I |` B) -> (( G ` x)( F o. `' G)( F ` x) <-> ( G ` x)( _I |` B)( F ` x)))
46	45	ad2antlr 458	. . . . . . 7 |- (((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) /\ x e. A) -> (( G ` x)( F o. `' G)( F ` x) <-> ( G ` x)( _I |` B)( F ` x)))
47	44, 46	mpbid 135	. . . . . 6 |- (((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) /\ x e. A) -> ( G ` x)( _I |` B)( F ` x))
48		fof 5049	. . . . . . . . . 10 |- ( G :A -onto->B -> G :A -->B)
49	48	adantl 262	. . . . . . . . 9 |- (( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) -> G :A -->B)
50	49	ffvelrnda 5245	. . . . . . . 8 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> ( G ` x) e. B)
51		fof 5049	. . . . . . . . . 10 |- ( F :A -onto->B -> F :A -->B)
52	51	adantr 261	. . . . . . . . 9 |- (( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) -> F :A -->B)
53	52	ffvelrnda 5245	. . . . . . . 8 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> ( F ` x) e. B)
54		resieq 4565	. . . . . . . 8 |- ((( G ` x) e. B /\ ( F ` x) e. B) -> (( G ` x)( _I |` B)( F ` x) <-> ( G ` x) = ( F ` x)))
55	50, 53, 54	syl2anc 391	. . . . . . 7 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ x e. A) -> (( G ` x)( _I |` B)( F ` x) <-> ( G ` x) = ( F ` x)))
56	55	adantlr 446	. . . . . 6 |- (((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) /\ x e. A) -> (( G ` x)( _I |` B)( F ` x) <-> ( G ` x) = ( F ` x)))
57	47, 56	mpbid 135	. . . . 5 |- (((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) /\ x e. A) -> ( G ` x) = ( F ` x))
58	57	eqcomd 2042	. . . 4 |- (((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) /\ x e. A) -> ( F ` x) = ( G ` x))
59	8, 10, 58	eqfnfvd 5211	. . 3 |- ((( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) /\ ( F o. `' G) = ( _I |` B)) -> F = G)
60	59	ex 108	. 2 |- (( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) -> (( F o. `' G) = ( _I |` B) -> F = G))
61	6, 60	impbid 120	1 |- (( F :A -onto->B /\ G :A -onto->B) -> ( F = G <-> ( F o. `' G) = ( _I |` B)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   _I cid 4016   `'ccnv 4287   |` cres 4290   o. ccom 4292   Fn wfn 4840   -->wf 4841   -onto->wfo 4843   ` cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)