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Theorem foeqcnvco 5373
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
foeqcnvco  F : -onto->  G : -onto->  F  G  F  o.  `' G  _I  |`

Proof of Theorem foeqcnvco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fococnv2 5095 . . . 4  F : -onto->  F  o.  `' F  _I  |`
2 cnveq 4452 . . . . . 6  F  G  `' F  `' G
32coeq2d 4441 . . . . 5  F  G  F  o.  `' F  F  o.  `' G
43eqeq1d 2045 . . . 4  F  G  F  o.  `' F  _I  |`  F  o.  `' G  _I  |`
51, 4syl5ibcom 144 . . 3  F : -onto->  F  G  F  o.  `' G  _I  |`
65adantr 261 . 2  F : -onto->  G : -onto->  F  G  F  o.  `' G  _I  |`
7 fofn 5051 . . . . 5  F : -onto->  F  Fn
87ad2antrr 457 . . . 4  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |` 
F  Fn
9 fofn 5051 . . . . 5  G : -onto->  G  Fn
109ad2antlr 458 . . . 4  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |` 
G  Fn
119adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  F : -onto->  G : -onto->  G  Fn
12 fnopfv 5240 . . . . . . . . . . . 12  G  Fn  <. ,  G ` 
>.  G
1311, 12sylan 267 . . . . . . . . . . 11  F : -onto->  G : -onto->  <. ,  G `  >.  G
149anim1i 323 . . . . . . . . . . . . 13  G : -onto->  G  Fn
1514adantll 445 . . . . . . . . . . . 12  F : -onto->  G : -onto->  G  Fn
16 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fun  G  dom  G  G `  _V
1716funfni 4942 . . . . . . . . . . . . . 14  G  Fn  G `  _V
18 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 
_V
19 brcnvg 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  G `  _V  _V  G `  `' G  G G `
2017, 18, 19sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  G  Fn  G `  `' G  G G `
21 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . 13  G G `  <. ,  G ` 
>.  G
2220, 21syl6bb 185 . . . . . . . . . . . 12  G  Fn  G `  `' G 
<. ,  G `
 >.  G
2315, 22syl 14 . . . . . . . . . . 11  F : -onto->  G : -onto->  G `  `' G  <. ,  G `  >.  G
2413, 23mpbird 156 . . . . . . . . . 10  F : -onto->  G : -onto->  G `  `' G
257adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  F : -onto->  G : -onto->  F  Fn
26 fnopfv 5240 . . . . . . . . . . . 12  F  Fn  <. ,  F ` 
>.  F
2725, 26sylan 267 . . . . . . . . . . 11  F : -onto->  G : -onto->  <. ,  F `  >.  F
28 df-br 3756 . . . . . . . . . . 11  F F `  <. ,  F ` 
>.  F
2927, 28sylibr 137 . . . . . . . . . 10  F : -onto->  G : -onto->  F F `
30 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12  G `  `' G  G `
 `' G
31 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12  F F `  F F `
3230, 31anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  G `  `' G  F F `  G `  `' G  F F `
3318, 32spcev 2641 . . . . . . . . . 10  G `  `' G  F F `  G `  `' G  F F `
3424, 29, 33syl2anc 391 . . . . . . . . 9  F : -onto->  G : -onto->  G `  `' G  F F `
3515, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  F : -onto->  G : -onto->  G `  _V
367anim1i 323 . . . . . . . . . . . 12  F : -onto->  F  Fn
3736adantlr 446 . . . . . . . . . . 11  F : -onto->  G : -onto->  F  Fn
38 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . 12  Fun  F  dom  F  F `  _V
3938funfni 4942 . . . . . . . . . . 11  F  Fn  F `  _V
4037, 39syl 14 . . . . . . . . . 10  F : -onto->  G : -onto->  F `  _V
41 brcog 4445 . . . . . . . . . 10  G `  _V  F `  _V  G `  F  o.  `' G F `
 G `  `' G  F F `
4235, 40, 41syl2anc 391 . . . . . . . . 9  F : -onto->  G : -onto->  G `  F  o.  `' G F `
 G `  `' G  F F `
4334, 42mpbird 156 . . . . . . . 8  F : -onto->  G : -onto->  G `  F  o.  `' G F `
4443adantlr 446 . . . . . . 7  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |`  G `  F  o.  `' G F `
45 breq 3757 . . . . . . . 8  F  o.  `' G  _I  |`  G `  F  o.  `' G F `
 G `
 _I  |`  F `
4645ad2antlr 458 . . . . . . 7  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |`  G `  F  o.  `' G F `
 G `
 _I  |`  F `
4744, 46mpbid 135 . . . . . 6  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |`  G `  _I  |`  F `
48 fof 5049 . . . . . . . . . 10  G : -onto->  G : -->
4948adantl 262 . . . . . . . . 9  F : -onto->  G : -onto->  G : -->
5049ffvelrnda 5245 . . . . . . . 8  F : -onto->  G : -onto->  G `
51 fof 5049 . . . . . . . . . 10  F : -onto->  F : -->
5251adantr 261 . . . . . . . . 9  F : -onto->  G : -onto->  F : -->
5352ffvelrnda 5245 . . . . . . . 8  F : -onto->  G : -onto->  F `
54 resieq 4565 . . . . . . . 8  G `  F `  G `  _I  |`  F `  G `  F `
5550, 53, 54syl2anc 391 . . . . . . 7  F : -onto->  G : -onto->  G `  _I  |`  F `  G `  F `
5655adantlr 446 . . . . . 6  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |`  G `  _I  |`  F `  G `  F `
5747, 56mpbid 135 . . . . 5  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |`  G `  F `
5857eqcomd 2042 . . . 4  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |`  F `  G `
598, 10, 58eqfnfvd 5211 . . 3  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |` 
F  G
6059ex 108 . 2  F : -onto->  G : -onto->  F  o.  `' G  _I  |`  F  G
616, 60impbid 120 1  F : -onto->  G : -onto->  F  G  F  o.  `' G  _I  |`
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755    _I cid 4016   `'ccnv 4287    |` cres 4290    o. ccom 4292    Fn wfn 4840   -->wf 4841   -onto->wfo 4843   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851  df-fv 4853
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