ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version

Theorem prarloclemlo 6564
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6573. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, L    y, P    y, U    y, X

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables  f  g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e.  om )  ->  (
( f  +o  g
)  +o  h )  =  ( f  +o  ( g  +o  h
) ) )
21adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e. 
om ) )  -> 
( ( f  +o  g )  +o  h
)  =  ( f  +o  ( g  +o  h ) ) )
3 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
4 1onn 6071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
5 nnacl 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( y  +o  1o )  e.  om )
63, 4, 5sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  om )
7 2onn 6072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  e.  om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  2o  e.  om )
9 simpll 481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  X  e.  om )
102, 6, 8, 9caovassd 5638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
)  =  ( ( y  +o  1o )  +o  ( 2o  +o  X ) ) )
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  1o  e.  om )
12 nnacom 6041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  +o  g
)  =  ( g  +o  f ) )
1312adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om ) )  -> 
( f  +o  g
)  =  ( g  +o  f ) )
14 nnacl 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  +o  g
)  e.  om )
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om ) )  -> 
( f  +o  g
)  e.  om )
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  ( 1o  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  1o )  +o  ( 2o  +o  X
) ) )
1713, 11, 9caovcomd 5635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  +o  X
)  =  ( X  +o  1o ) )
18 nnon 4310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  om  ->  X  e.  On )
19 oa1suc 6025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  ( X  +o  1o )  =  suc  X )
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  1o )  =  suc  X )
2117, 20eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  +o  X
)  =  suc  X
)
2221oveq2d 5506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  ( 1o  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) )
2310, 16, 223eqtr2rd 2079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X )  =  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) )
2423opeq1d 3552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >.  = 
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. )
2524eceq1d 6120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
2625oveq1d 5505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
2726oveq2d 5506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
2827eleq1d 2106 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
2928biimpd 132 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  ->  ( A  +Q  ( [ <. (
( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
30 simplr1 946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. L ,  U >.  e. 
P. )
31 simplr2 947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  L )
32 elprnql 6551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L )  ->  A  e.  Q. )
3330, 31, 32syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  Q. )
34 1pi 6385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  N.
35 nnppipi 6413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +o  1o )  e.  N. )
363, 34, 35sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  N. )
37 opelxpi 4354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
3834, 37mpan2 401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  N.  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
39 enqex 6430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~Q  e.  _V
4039ecelqsi 6138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
41 df-nqqs 6418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4240, 41syl6eleqr 2131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
44 simplr3 948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  P  e.  Q. )
45 mulclnq 6446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
4643, 44, 45syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
47 nqnq0a 6524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
4833, 46, 47syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
49 nqnq0m 6525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0 
P ) )
5043, 44, 49syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0 
P ) )
51 nqnq0pi 6508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5236, 34, 51sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5352oveq1d 5505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0  P )
)
5450, 53eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)
5554oveq2d 5506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) ) )
5648, 55eqtrd 2072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
5756eleq1d 2106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L ) )
5857anbi1d 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
59 opeq1 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  <. z ,  1o >.  =  <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. )
6059eceq1d 6120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  [ <. z ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  )
6160oveq1d 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )
6261oveq2d 5506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
6362eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L ) )
64 oveq1 5497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
z  +o  2o )  =  ( ( y  +o  1o )  +o  2o ) )
6564oveq1d 5505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( z  +o  2o )  +o  X )  =  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) )
6665opeq1d 3552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  <. (
( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >.  =  <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. )
6766eceq1d 6120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6867oveq1d 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  =  ( [
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
6968oveq2d 5506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
7069eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
7163, 70anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
7271rspcev 2653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  om  /\  (
( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
7372ex 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  om  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
746, 73syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
7558, 74sylbid 139 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
76 opeq1 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. z ,  1o >.  =  <. y ,  1o >. )
7776eceq1d 6120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  [ <. z ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. y ,  1o >. ] ~Q0  )
7877oveq1d 5505 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )
7978oveq2d 5506 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  =  ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
8079eleq1d 2106 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [
<. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
P ) )  e.  L ) )
81 oveq1 5497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
z  +o  2o )  =  ( y  +o  2o ) )
8281oveq1d 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  +o  2o )  +o  X )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) )
8382opeq1d 3552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. (
( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >.  =  <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. )
8483eceq1d 6120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
8584oveq1d 5505 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  =  ( [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
8685oveq2d 5506 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
8786eleq1d 2106 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
8880, 87anbi12d 442 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
8988cbvrexv 2531 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  om  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
9075, 89syl6ib 150 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9129, 90sylan2d 278 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9291expdimp 246 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L )  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9392adantld 263 . 2  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L )  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9493ex 108 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   E.wrex 2304   <.cop 3375   Oncon0 4087   suc csuc 4089   omcom 4291    X. cxp 4321  (class class class)co 5490   1oc1o 5972   2oc2o 5973    +o coa 5976   [cec 6082   /.cqs 6083   N.cnpi 6342    ~Q ceq 6349   Q.cnq 6350    +Q cplq 6352    .Q cmq 6353   ~Q0 ceq0 6356   +Q0 cplq0 6359   ·Q0 cmq0 6360   P.cnp 6361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4157  ax-setind 4247  ax-iinf 4289
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-id 4027  df-iord 4090  df-on 4092  df-suc 4095  df-iom 4292  df-xp 4329  df-rel 4330  df-cnv 4331  df-co 4332  df-dm 4333  df-rn 4334  df-res 4335  df-ima 4336  df-iota 4845  df-fun 4882  df-fn 4883  df-f 4884  df-f1 4885  df-fo 4886  df-f1o 4887  df-fv 4888  df-ov 5493  df-oprab 5494  df-mpt2 5495  df-1st 5745  df-2nd 5746  df-recs 5898  df-irdg 5935  df-1o 5979  df-2o 5980  df-oadd 5983  df-omul 5984  df-er 6084  df-ec 6086  df-qs 6090  df-ni 6374  df-pli 6375  df-mi 6376  df-plpq 6414  df-mpq 6415  df-enq 6417  df-nqqs 6418  df-plqqs 6419  df-mqqs 6420  df-enq0 6494  df-nq0 6495  df-plq0 6497  df-mq0 6498  df-inp 6536
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6566
  Copyright terms: Public domain W3C validator