ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version

Theorem prarloclemlo 6477
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6486. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  L +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U 
om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
Distinct variable groups:   ,   , L   , P   , U   , X

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6003 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om  h  om  +o  +o  h  +o  +o  h
21adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  X 
om  <. L ,  U >.  P.  L  P  Q.  om 
om  om  h  om  +o  +o  h  +o  +o  h
3 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  om
4 1onn 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  1o  om
5 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . . . 14  om  1o  om  +o  1o  om
63, 4, 5sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +o  1o  om
7 2onn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  2o  om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  2o  om
9 simpll 481 . . . . . . . . . . . . 13  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  X  om
102, 6, 8, 9caovassd 5602 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +o  1o  +o  2o  +o  X  +o  1o  +o  2o  +o  X
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  1o  om
12 nnacom 6002 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om  +o  +o
1312adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  X 
om  <. L ,  U >.  P.  L  P  Q.  om 
om  om  +o  +o
14 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om  +o  om
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  X 
om  <. L ,  U >.  P.  L  P  Q.  om 
om  om  +o 
om
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5627 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +o  2o  +o  1o  +o  X  +o  1o  +o  2o  +o  X
1713, 11, 9caovcomd 5599 . . . . . . . . . . . . . 14  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  1o  +o  X  X  +o  1o
18 nnon 4275 . . . . . . . . . . . . . . 15  X  om  X  On
19 oa1suc 5986 . . . . . . . . . . . . . . 15  X  On  X  +o  1o 
suc  X
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  X  +o  1o  suc  X
2117, 20eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . 13  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  1o  +o  X  suc  X
2221oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +o  2o  +o  1o  +o  X  +o  2o  +o  suc  X
2310, 16, 223eqtr2rd 2076 . . . . . . . . . . 11  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +o  2o  +o  suc  X  +o  1o  +o  2o  +o  X
2423opeq1d 3546 . . . . . . . . . 10  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.
2524eceq1d 6078 . . . . . . . . 9  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q
2625oveq1d 5470 . . . . . . . 8  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
2726oveq2d 5471 . . . . . . 7  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
2827eleq1d 2103 . . . . . 6  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
2928biimpd 132 . . . . 5  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
30 simplr1 945 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <. L ,  U >.  P.
31 simplr2 946 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  L
32 elprnql 6464 . . . . . . . . . . . 12 
<. L ,  U >. 
P.  L  Q.
3330, 31, 32syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  Q.
34 1pi 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  1o  N.
35 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . . . . 14  om  1o  N.  +o  1o  N.
363, 34, 35sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +o  1o  N.
37 opelxpi 4319 . . . . . . . . . . . . . 14  +o  1o  N.  1o  N.  <.  +o  1o ,  1o >.  N.  X.  N.
3834, 37mpan2 401 . . . . . . . . . . . . 13  +o  1o  N.  <.  +o  1o ,  1o >.  N.  X.  N.
39 enqex 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15  ~Q  _V
4039ecelqsi 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  <.  +o  1o ,  1o >.  N.  X.  N.  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  N.  X.  N. /.  ~Q
41 df-nqqs 6332 . . . . . . . . . . . . . 14  Q.  N.  X.  N. /.  ~Q
4240, 41syl6eleqr 2128 . . . . . . . . . . . . 13  <.  +o  1o ,  1o >.  N.  X.  N.  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  Q.
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  Q.
44 simplr3 947 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  P  Q.
45 mulclnq 6360 . . . . . . . . . . . 12  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  Q.  P  Q.  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  Q.
4643, 44, 45syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  Q.
47 nqnq0a 6437 . . . . . . . . . . 11  Q.  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  Q.  +Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P +Q0  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P
4833, 46, 47syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P +Q0  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P
49 nqnq0m 6438 . . . . . . . . . . . . 13  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  Q.  P  Q.  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q ·Q0  P
5043, 44, 49syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q ·Q0  P
51 nqnq0pi 6421 . . . . . . . . . . . . . 14  +o  1o  N.  1o  N.  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q
5236, 34, 51sylancl 392 . . . . . . . . . . . . 13  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q
5352oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . 12  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q ·Q0  P
5450, 53eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . 11  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P
5554oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om +Q0  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
5648, 55eqtrd 2069 . . . . . . . . 9  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
5756eleq1d 2103 . . . . . . . 8  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  L +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P  L
5857anbi1d 438 . . . . . . 7  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  L  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P  L  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
59 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15  +o  1o  <. ,  1o >.  <.  +o  1o ,  1o >.
6059eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14  +o  1o  <. ,  1o >. ~Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0
6160oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13  +o  1o  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
6261oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12  +o  1o +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
6362eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11  +o  1o +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P  L
64 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  +o  1o  +o  2o  +o  1o  +o  2o
6564oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  +o  1o  +o  2o  +o  X  +o  1o  +o  2o  +o  X
6665opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15  +o  1o  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.
6766eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14  +o  1o  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q
6867oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13  +o  1o  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
6968oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12  +o  1o  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
7069eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11  +o  1o  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
7163, 70anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  +o  1o +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
7271rspcev 2650 . . . . . . . . 9  +o  1o  om +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
7372ex 108 . . . . . . . 8  +o  1o  om +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U 
om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
746, 73syl 14 . . . . . . 7  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om +Q0  <.  +o  1o ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P  L  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
7558, 74sylbid 139 . . . . . 6  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  L  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
76 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  1o >.  <. ,  1o >.
7776eceq1d 6078 . . . . . . . . . . 11  <. ,  1o >. ~Q0  <. ,  1o >. ~Q0
7877oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
7978oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P
8079eleq1d 2103 . . . . . . . 8 +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L
81 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . 14  +o  2o  +o  2o
8281oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13  +o  2o  +o  X  +o  2o  +o  X
8382opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . 12  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.
8483eceq1d 6078 . . . . . . . . . . 11  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q
8584oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
8685oveq2d 5471 . . . . . . . . 9  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P
8786eleq1d 2103 . . . . . . . 8  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
8880, 87anbi12d 442 . . . . . . 7 +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
8988cbvrexv 2528 . . . . . 6  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
9075, 89syl6ib 150 . . . . 5  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  L  +Q  <.  +o  1o  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
9129, 90sylan2d 278 . . . 4  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >.  ~Q  .Q  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
9291expdimp 246 . . 3  X 
om  <. L ,  U >.  P.  L  P  Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
9392adantld 263 . 2  X 
om  <. L ,  U >.  P.  L  P  Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  L +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U 
om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
9493ex 108 1  X  om  <. L ,  U >.  P.  L  P 
Q.  om  +Q  <.  +o  1o ,  1o >. 
~Q  .Q  P  L +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  suc  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U 
om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  X ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   <.cop 3370   Oncon0 4066   suc csuc 4068   omcom 4256    X. cxp 4286  (class class class)co 5455   1oc1o 5933   2oc2o 5934    +o coa 5937  cec 6040   /.cqs 6041   N.cnpi 6256    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    .Q cmq 6267   ~Q0 ceq0 6270   +Q0 cplq0 6273   ·Q0 cmq0 6274   P.cnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6479
  Copyright terms: Public domain W3C validator