ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaass Structured version   Unicode version

Theorem nnaass 5996
Description: Addition of natural numbers is associative. Theorem 4K(1) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaass  om  om  C  om  +o  +o  C  +o  +o  C

Proof of Theorem nnaass
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5460 . . . . . 6  C  +o  +o  +o  +o  C
2 oveq2 5460 . . . . . . 7  C  +o  +o  C
32oveq2d 5468 . . . . . 6  C  +o  +o  +o  +o  C
41, 3eqeq12d 2051 . . . . 5  C  +o  +o  +o  +o  +o  +o  C  +o  +o  C
54imbi2d 219 . . . 4  C  om  om  +o  +o  +o  +o  om  om  +o  +o  C  +o  +o  C
6 oveq2 5460 . . . . . 6  (/)  +o  +o  +o  +o  (/)
7 oveq2 5460 . . . . . . 7  (/)  +o  +o  (/)
87oveq2d 5468 . . . . . 6  (/)  +o  +o  +o  +o  (/)
96, 8eqeq12d 2051 . . . . 5  (/)  +o  +o  +o  +o  +o  +o  (/)  +o  +o  (/)
10 oveq2 5460 . . . . . 6  +o  +o  +o  +o
11 oveq2 5460 . . . . . . 7  +o  +o
1211oveq2d 5468 . . . . . 6  +o  +o  +o  +o
1310, 12eqeq12d 2051 . . . . 5  +o  +o  +o  +o  +o  +o  +o  +o
14 oveq2 5460 . . . . . 6  suc  +o  +o  +o  +o  suc
15 oveq2 5460 . . . . . . 7  suc  +o  +o  suc
1615oveq2d 5468 . . . . . 6  suc  +o  +o  +o  +o  suc
1714, 16eqeq12d 2051 . . . . 5  suc  +o  +o  +o  +o  +o  +o  suc  +o  +o  suc
18 nnacl 5991 . . . . . . 7  om  om  +o  om
19 nna0 5985 . . . . . . 7  +o  om  +o  +o  (/)  +o
2018, 19syl 14 . . . . . 6  om  om  +o  +o  (/)  +o
21 nna0 5985 . . . . . . . 8  om  +o  (/)
2221oveq2d 5468 . . . . . . 7  om  +o  +o  (/)  +o
2322adantl 262 . . . . . 6  om  om  +o  +o  (/)  +o
2420, 23eqtr4d 2072 . . . . 5  om  om  +o  +o  (/)  +o  +o  (/)
25 suceq 4104 . . . . . . 7  +o  +o  +o  +o  suc  +o  +o  suc  +o  +o
26 nnasuc 5987 . . . . . . . . 9  +o  om  om  +o  +o  suc  suc  +o  +o
2718, 26sylan 267 . . . . . . . 8  om  om  om  +o  +o  suc  suc  +o  +o
28 nnasuc 5987 . . . . . . . . . . . 12  om  om  +o  suc  suc  +o
2928oveq2d 5468 . . . . . . . . . . 11  om  om  +o  +o  suc  +o  suc  +o
3029adantl 262 . . . . . . . . . 10  om  om  om  +o  +o  suc  +o  suc  +o
31 nnacl 5991 . . . . . . . . . . 11  om  om  +o  om
32 nnasuc 5987 . . . . . . . . . . 11  om  +o  om  +o  suc  +o  suc  +o  +o
3331, 32sylan2 270 . . . . . . . . . 10  om  om  om  +o  suc  +o  suc  +o  +o
3430, 33eqtrd 2069 . . . . . . . . 9  om  om  om  +o  +o  suc  suc  +o  +o
3534anassrs 380 . . . . . . . 8  om  om  om  +o  +o  suc  suc  +o  +o
3627, 35eqeq12d 2051 . . . . . . 7  om  om  om  +o  +o  suc  +o  +o  suc  suc  +o  +o 
suc  +o  +o
3725, 36syl5ibr 145 . . . . . 6  om  om  om  +o  +o  +o  +o  +o  +o  suc  +o  +o  suc
3837expcom 109 . . . . 5  om  om  om  +o  +o  +o  +o  +o  +o  suc  +o  +o  suc
399, 13, 17, 24, 38finds2 4266 . . . 4  om  om  om  +o  +o  +o  +o
405, 39vtoclga 2613 . . 3  C  om  om  om  +o  +o  C  +o  +o  C
4140com12 27 . 2  om  om  C  om  +o  +o  C  +o  +o  C
42413impia 1100 1  om  om  C  om  +o  +o  C  +o  +o  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   (/)c0 3218   suc csuc 4067   omcom 4255  (class class class)co 5452    +o coa 5930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-oadd 5937
This theorem is referenced by:  nndi  5997  nnmsucr  5999  addasspig  6307  addassnq0  6437  prarloclemlo  6469
  Copyright terms: Public domain W3C validator