Theorem elprnql 6579

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 6577	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 2945	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   <.cop 3378   Q.cnq 6378   P.cnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-qs 6112  df-ni 6402  df-nqqs 6446  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  prubl  6584  prnmaxl  6586  prarloclemlt  6591  prarloclemlo  6592  prarloclem5  6598  genpdf  6606  genipv  6607  genpelvl  6610  genpml  6615  genprndl  6619  genpassl  6622  addnqprllem  6625  addnqprl  6627  addlocprlemeqgt  6630  addlocprlemgt  6632  addlocprlem  6633  nqprl  6649  prmuloc  6664  mulnqprl  6666  addcomprg  6676  mulcomprg  6678  distrlem1prl  6680  distrlem4prl  6682  1idprl  6688  ltsopr  6694  ltexprlemm  6698  ltexprlemopl  6699  ltexprlemopu  6701  ltexprlemupu  6702  ltexprlemdisj  6704  ltexprlemloc  6705  ltexprlemfl  6707  ltexprlemrl  6708  ltexprlemfu  6709  ltexprlemru  6710  addcanprleml  6712  addcanprlemu  6713  recexprlemloc  6729  recexprlem1ssl  6731  recexprlem1ssu  6732  recexprlemss1l  6733  aptiprleml  6737  aptiprlemu  6738  caucvgprprlemopl  6795