ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposf12 Structured version   GIF version

Theorem tposf12 5825
Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf12 (Rel A → (𝐹:A1-1B → tpos 𝐹:A1-1B))

Proof of Theorem tposf12
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . 4 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → 𝐹:A1-1B)
2 relcnv 4646 . . . . . . 7 Rel A
3 cnvf1o 5788 . . . . . . 7 (Rel A → (x A {x}):A1-1-ontoA)
4 f1of1 5068 . . . . . . 7 ((x A {x}):A1-1-ontoA → (x A {x}):A1-1A)
52, 3, 4mp2b 8 . . . . . 6 (x A {x}):A1-1A
6 simpl 102 . . . . . . . 8 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → Rel A)
7 dfrel2 4714 . . . . . . . 8 (Rel AA = A)
86, 7sylib 127 . . . . . . 7 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → A = A)
9 f1eq3 5032 . . . . . . 7 (A = A → ((x A {x}):A1-1A ↔ (x A {x}):A1-1A))
108, 9syl 14 . . . . . 6 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → ((x A {x}):A1-1A ↔ (x A {x}):A1-1A))
115, 10mpbii 136 . . . . 5 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → (x A {x}):A1-1A)
12 f1dm 5039 . . . . . . . 8 (𝐹:A1-1B → dom 𝐹 = A)
131, 12syl 14 . . . . . . 7 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → dom 𝐹 = A)
1413cnveqd 4454 . . . . . 6 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → dom 𝐹 = A)
15 mpteq1 3832 . . . . . 6 (dom 𝐹 = A → (x dom 𝐹 {x}) = (x A {x}))
16 f1eq1 5030 . . . . . 6 ((x dom 𝐹 {x}) = (x A {x}) → ((x dom 𝐹 {x}):A1-1A ↔ (x A {x}):A1-1A))
1714, 15, 163syl 17 . . . . 5 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → ((x dom 𝐹 {x}):A1-1A ↔ (x A {x}):A1-1A))
1811, 17mpbird 156 . . . 4 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → (x dom 𝐹 {x}):A1-1A)
19 f1co 5044 . . . 4 ((𝐹:A1-1B (x dom 𝐹 {x}):A1-1A) → (𝐹 ∘ (x dom 𝐹 {x})):A1-1B)
201, 18, 19syl2anc 391 . . 3 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → (𝐹 ∘ (x dom 𝐹 {x})):A1-1B)
2112releqd 4367 . . . . 5 (𝐹:A1-1B → (Rel dom 𝐹 ↔ Rel A))
2221biimparc 283 . . . 4 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → Rel dom 𝐹)
23 dftpos2 5817 . . . 4 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = (𝐹 ∘ (x dom 𝐹 {x})))
24 f1eq1 5030 . . . 4 (tpos 𝐹 = (𝐹 ∘ (x dom 𝐹 {x})) → (tpos 𝐹:A1-1B ↔ (𝐹 ∘ (x dom 𝐹 {x})):A1-1B))
2522, 23, 243syl 17 . . 3 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → (tpos 𝐹:A1-1B ↔ (𝐹 ∘ (x dom 𝐹 {x})):A1-1B))
2620, 25mpbird 156 . 2 ((Rel A 𝐹:A1-1B) → tpos 𝐹:A1-1B)
2726ex 108 1 (Rel A → (𝐹:A1-1B → tpos 𝐹:A1-1B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  {csn 3367   cuni 3571  cmpt 3809  ccnv 4287  dom cdm 4288  ccom 4292  Rel wrel 4293  1-1wf1 4842  1-1-ontowf1o 4844  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tposf1o2  5826
  Copyright terms: Public domain W3C validator