ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposf2 Structured version   GIF version

Theorem tposf2 5824
Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf2 (Rel A → (𝐹:AB → tpos 𝐹:AB))

Proof of Theorem tposf2
StepHypRef Expression
1 ffn 4989 . . . . . . 7 (𝐹:AB𝐹 Fn A)
2 dffn4 5055 . . . . . . 7 (𝐹 Fn A𝐹:Aonto→ran 𝐹)
31, 2sylib 127 . . . . . 6 (𝐹:AB𝐹:Aonto→ran 𝐹)
4 tposfo2 5823 . . . . . 6 (Rel A → (𝐹:Aonto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:Aonto→ran 𝐹))
53, 4syl5 28 . . . . 5 (Rel A → (𝐹:AB → tpos 𝐹:Aonto→ran 𝐹))
65imp 115 . . . 4 ((Rel A 𝐹:AB) → tpos 𝐹:Aonto→ran 𝐹)
7 fof 5049 . . . 4 (tpos 𝐹:Aonto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:A⟶ran 𝐹)
86, 7syl 14 . . 3 ((Rel A 𝐹:AB) → tpos 𝐹:A⟶ran 𝐹)
9 frn 4995 . . . 4 (𝐹:AB → ran 𝐹B)
109adantl 262 . . 3 ((Rel A 𝐹:AB) → ran 𝐹B)
11 fss 4997 . . 3 ((tpos 𝐹:A⟶ran 𝐹 ran 𝐹B) → tpos 𝐹:AB)
128, 10, 11syl2anc 391 . 2 ((Rel A 𝐹:AB) → tpos 𝐹:AB)
1312ex 108 1 (Rel A → (𝐹:AB → tpos 𝐹:AB))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wss 2911  ccnv 4287  ran crn 4289  Rel wrel 4293   Fn wfn 4840  wf 4841  ontowfo 4843  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tposf  5828
  Copyright terms: Public domain W3C validator