ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1co GIF version

Theorem f1co 5101
Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1co ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)

Proof of Theorem f1co
StepHypRef Expression
1 df-f1 4907 . . 3 (𝐹:𝐵1-1𝐶 ↔ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ Fun 𝐹))
2 df-f1 4907 . . 3 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺))
3 fco 5056 . . . . 5 ((𝐹:𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴𝐶)
4 funco 4940 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 ∧ Fun 𝐹) → Fun (𝐺𝐹))
5 cnvco 4520 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
65funeqi 4922 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐺) ↔ Fun (𝐺𝐹))
74, 6sylibr 137 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ Fun 𝐹) → Fun (𝐹𝐺))
87ancoms 255 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
93, 8anim12i 321 . . . 4 (((𝐹:𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) ∧ (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
109an4s 522 . . 3 (((𝐹:𝐵𝐶 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
111, 2, 10syl2anb 275 . 2 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
12 df-f1 4907 . 2 ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
1311, 12sylibr 137 1 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  ccnv 4344  ccom 4349  Fun wfun 4896  wf 4898  1-1wf1 4899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907
This theorem is referenced by:  f1oco  5149  tposf12  5884  domtr  6265
  Copyright terms: Public domain W3C validator