ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1co Structured version   GIF version

Theorem f1co 5044
Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1co ((𝐹:B1-1𝐶 𝐺:A1-1B) → (𝐹𝐺):A1-1𝐶)

Proof of Theorem f1co
StepHypRef Expression
1 df-f1 4850 . . 3 (𝐹:B1-1𝐶 ↔ (𝐹:B𝐶 Fun 𝐹))
2 df-f1 4850 . . 3 (𝐺:A1-1B ↔ (𝐺:AB Fun 𝐺))
3 fco 4999 . . . . 5 ((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) → (𝐹𝐺):A𝐶)
4 funco 4883 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 Fun 𝐹) → Fun (𝐺𝐹))
5 cnvco 4463 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
65funeqi 4865 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐺) ↔ Fun (𝐺𝐹))
74, 6sylibr 137 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 Fun 𝐹) → Fun (𝐹𝐺))
87ancoms 255 . . . . 5 ((Fun 𝐹 Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
93, 8anim12i 321 . . . 4 (((𝐹:B𝐶 𝐺:AB) (Fun 𝐹 Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):A𝐶 Fun (𝐹𝐺)))
109an4s 522 . . 3 (((𝐹:B𝐶 Fun 𝐹) (𝐺:AB Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):A𝐶 Fun (𝐹𝐺)))
111, 2, 10syl2anb 275 . 2 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐺:A1-1B) → ((𝐹𝐺):A𝐶 Fun (𝐹𝐺)))
12 df-f1 4850 . 2 ((𝐹𝐺):A1-1𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):A𝐶 Fun (𝐹𝐺)))
1311, 12sylibr 137 1 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐺:A1-1B) → (𝐹𝐺):A1-1𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  ccnv 4287  ccom 4292  Fun wfun 4839  wf 4841  1-1wf1 4842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850
This theorem is referenced by:  f1oco  5092  tposf12  5825  domtr  6201
  Copyright terms: Public domain W3C validator