Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caofinvl Structured version   GIF version

Theorem caofinvl 5675
 Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1 (φA 𝑉)
caofref.2 (φ𝐹:A𝑆)
caofinv.3 (φB 𝑊)
caofinv.4 (φ𝑁:𝑆𝑆)
caofinv.5 (φ𝐺 = (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v))))
caofinvl.6 ((φ x 𝑆) → ((𝑁x)𝑅x) = B)
Assertion
Ref Expression
caofinvl (φ → (𝐺𝑓 𝑅𝐹) = (A × {B}))
Distinct variable groups:   x,B   x,𝐹   x,𝐺   φ,x   x,𝑅   x,𝑆   v,A   v,𝐹,x   x,𝑁,v   v,𝑆   φ,v
Allowed substitution hints:   A(x)   B(v)   𝑅(v)   𝐺(v)   𝑉(x,v)   𝑊(x,v)

Proof of Theorem caofinvl
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofref.1 . . . 4 (φA 𝑉)
2 caofinv.4 . . . . . . . . 9 (φ𝑁:𝑆𝑆)
32adantr 261 . . . . . . . 8 ((φ v A) → 𝑁:𝑆𝑆)
4 caofref.2 . . . . . . . . 9 (φ𝐹:A𝑆)
54ffvelrnda 5245 . . . . . . . 8 ((φ v A) → (𝐹v) 𝑆)
63, 5ffvelrnd 5246 . . . . . . 7 ((φ v A) → (𝑁‘(𝐹v)) 𝑆)
7 eqid 2037 . . . . . . 7 (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v))) = (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v)))
86, 7fmptd 5265 . . . . . 6 (φ → (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v))):A𝑆)
9 caofinv.5 . . . . . . 7 (φ𝐺 = (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v))))
109feq1d 4977 . . . . . 6 (φ → (𝐺:A𝑆 ↔ (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v))):A𝑆))
118, 10mpbird 156 . . . . 5 (φ𝐺:A𝑆)
1211ffvelrnda 5245 . . . 4 ((φ w A) → (𝐺w) 𝑆)
134ffvelrnda 5245 . . . 4 ((φ w A) → (𝐹w) 𝑆)
146ralrimiva 2386 . . . . . . 7 (φv A (𝑁‘(𝐹v)) 𝑆)
157fnmpt 4968 . . . . . . 7 (v A (𝑁‘(𝐹v)) 𝑆 → (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v))) Fn A)
1614, 15syl 14 . . . . . 6 (φ → (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v))) Fn A)
179fneq1d 4932 . . . . . 6 (φ → (𝐺 Fn A ↔ (v A ↦ (𝑁‘(𝐹v))) Fn A))
1816, 17mpbird 156 . . . . 5 (φ𝐺 Fn A)
19 dffn5im 5162 . . . . 5 (𝐺 Fn A𝐺 = (w A ↦ (𝐺w)))
2018, 19syl 14 . . . 4 (φ𝐺 = (w A ↦ (𝐺w)))
214feqmptd 5169 . . . 4 (φ𝐹 = (w A ↦ (𝐹w)))
221, 12, 13, 20, 21offval2 5668 . . 3 (φ → (𝐺𝑓 𝑅𝐹) = (w A ↦ ((𝐺w)𝑅(𝐹w))))
239fveq1d 5123 . . . . . . . 8 (φ → (𝐺w) = ((v A ↦ (𝑁‘(𝐹v)))‘w))
2423adantr 261 . . . . . . 7 ((φ w A) → (𝐺w) = ((v A ↦ (𝑁‘(𝐹v)))‘w))
25 simpr 103 . . . . . . . 8 ((φ w A) → w A)
262adantr 261 . . . . . . . . 9 ((φ w A) → 𝑁:𝑆𝑆)
2726, 13ffvelrnd 5246 . . . . . . . 8 ((φ w A) → (𝑁‘(𝐹w)) 𝑆)
28 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10 (v = w → (𝐹v) = (𝐹w))
2928fveq2d 5125 . . . . . . . . 9 (v = w → (𝑁‘(𝐹v)) = (𝑁‘(𝐹w)))
3029, 7fvmptg 5191 . . . . . . . 8 ((w A (𝑁‘(𝐹w)) 𝑆) → ((v A ↦ (𝑁‘(𝐹v)))‘w) = (𝑁‘(𝐹w)))
3125, 27, 30syl2anc 391 . . . . . . 7 ((φ w A) → ((v A ↦ (𝑁‘(𝐹v)))‘w) = (𝑁‘(𝐹w)))
3224, 31eqtrd 2069 . . . . . 6 ((φ w A) → (𝐺w) = (𝑁‘(𝐹w)))
3332oveq1d 5470 . . . . 5 ((φ w A) → ((𝐺w)𝑅(𝐹w)) = ((𝑁‘(𝐹w))𝑅(𝐹w)))
34 caofinvl.6 . . . . . . . 8 ((φ x 𝑆) → ((𝑁x)𝑅x) = B)
3534ralrimiva 2386 . . . . . . 7 (φx 𝑆 ((𝑁x)𝑅x) = B)
3635adantr 261 . . . . . 6 ((φ w A) → x 𝑆 ((𝑁x)𝑅x) = B)
37 fveq2 5121 . . . . . . . . 9 (x = (𝐹w) → (𝑁x) = (𝑁‘(𝐹w)))
38 id 19 . . . . . . . . 9 (x = (𝐹w) → x = (𝐹w))
3937, 38oveq12d 5473 . . . . . . . 8 (x = (𝐹w) → ((𝑁x)𝑅x) = ((𝑁‘(𝐹w))𝑅(𝐹w)))
4039eqeq1d 2045 . . . . . . 7 (x = (𝐹w) → (((𝑁x)𝑅x) = B ↔ ((𝑁‘(𝐹w))𝑅(𝐹w)) = B))
4140rspcva 2648 . . . . . 6 (((𝐹w) 𝑆 x 𝑆 ((𝑁x)𝑅x) = B) → ((𝑁‘(𝐹w))𝑅(𝐹w)) = B)
4213, 36, 41syl2anc 391 . . . . 5 ((φ w A) → ((𝑁‘(𝐹w))𝑅(𝐹w)) = B)
4333, 42eqtrd 2069 . . . 4 ((φ w A) → ((𝐺w)𝑅(𝐹w)) = B)
4443mpteq2dva 3838 . . 3 (φ → (w A ↦ ((𝐺w)𝑅(𝐹w))) = (w AB))
4522, 44eqtrd 2069 . 2 (φ → (𝐺𝑓 𝑅𝐹) = (w AB))
46 fconstmpt 4330 . 2 (A × {B}) = (w AB)
4745, 46syl6eqr 2087 1 (φ → (𝐺𝑓 𝑅𝐹) = (A × {B}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  {csn 3367   ↦ cmpt 3809   × cxp 4286   Fn wfn 4840  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ∘𝑓 cof 5652 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator