Theorem caofcom 5676

Description: Transfer a commutative law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1	⊢ (φ → A ∈ 𝑉)
caofref.2	⊢ (φ → 𝐹:A⟶𝑆)
caofcom.3	⊢ (φ → 𝐺:A⟶𝑆)
caofcom.4	⊢ ((φ ∧ (x ∈ 𝑆 ∧ y ∈ 𝑆)) → (x𝑅y) = (y𝑅x))

Assertion

Ref	Expression
caofcom	⊢ (φ → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹))

Distinct variable groups:   x,y,𝐹   x,𝐺,y   φ,x,y   x,𝑅,y   x,𝑆,y

Allowed substitution hints:   A(x,y)   𝑉(x,y)

Proof of Theorem caofcom

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caofref.2	. . . . . 6 ⊢ (φ → 𝐹:A⟶𝑆)
2	1	ffvelrnda 5245	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ w ∈ A) → (𝐹‘w) ∈ 𝑆)
3		caofcom.3	. . . . . 6 ⊢ (φ → 𝐺:A⟶𝑆)
4	3	ffvelrnda 5245	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ w ∈ A) → (𝐺‘w) ∈ 𝑆)
5	2, 4	jca 290	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ w ∈ A) → ((𝐹‘w) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺‘w) ∈ 𝑆))
6		caofcom.4	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ 𝑆 ∧ y ∈ 𝑆)) → (x𝑅y) = (y𝑅x))
7	6	caovcomg 5598	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ ((𝐹‘w) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺‘w) ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘w)𝑅(𝐺‘w)) = ((𝐺‘w)𝑅(𝐹‘w)))
8	5, 7	syldan 266	. . 3 ⊢ ((φ ∧ w ∈ A) → ((𝐹‘w)𝑅(𝐺‘w)) = ((𝐺‘w)𝑅(𝐹‘w)))
9	8	mpteq2dva 3838	. 2 ⊢ (φ → (w ∈ A ↦ ((𝐹‘w)𝑅(𝐺‘w))) = (w ∈ A ↦ ((𝐺‘w)𝑅(𝐹‘w))))
10		caofref.1	. . 3 ⊢ (φ → A ∈ 𝑉)
11	1	feqmptd 5169	. . 3 ⊢ (φ → 𝐹 = (w ∈ A ↦ (𝐹‘w)))
12	3	feqmptd 5169	. . 3 ⊢ (φ → 𝐺 = (w ∈ A ↦ (𝐺‘w)))
13	10, 2, 4, 11, 12	offval2 5668	. 2 ⊢ (φ → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) = (w ∈ A ↦ ((𝐹‘w)𝑅(𝐺‘w))))
14	10, 4, 2, 12, 11	offval2 5668	. 2 ⊢ (φ → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (w ∈ A ↦ ((𝐺‘w)𝑅(𝐹‘w))))
15	9, 13, 14	3eqtr4d 2079	1 ⊢ (φ → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ↦ cmpt 3809  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ∘_𝑓 cof 5652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654

This theorem is referenced by: (None)