ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caofinvl Unicode version

Theorem caofinvl 5675
Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1  V
caofref.2  F : --> S
caofinv.3  W
caofinv.4  N : S --> S
caofinv.5  G  |->  N `
 F `
caofinvl.6  S  N `
 R
Assertion
Ref Expression
caofinvl  G  o F R F  X.  { }
Distinct variable groups:   ,   , F   , G   ,   , R   , S   ,   , F,   , N,   , S   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()    R()    G()    V(,)    W(,)

Proof of Theorem caofinvl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofref.1 . . . 4  V
2 caofinv.4 . . . . . . . . 9  N : S --> S
32adantr 261 . . . . . . . 8  N : S --> S
4 caofref.2 . . . . . . . . 9  F : --> S
54ffvelrnda 5245 . . . . . . . 8  F `  S
63, 5ffvelrnd 5246 . . . . . . 7  N `  F `  S
7 eqid 2037 . . . . . . 7  |->  N `
 F `  |->  N `  F `
86, 7fmptd 5265 . . . . . 6  |->  N `  F `
 : --> S
9 caofinv.5 . . . . . . 7  G  |->  N `
 F `
109feq1d 4977 . . . . . 6  G : --> S  |->  N `  F `
 : --> S
118, 10mpbird 156 . . . . 5  G : --> S
1211ffvelrnda 5245 . . . 4  G `  S
134ffvelrnda 5245 . . . 4  F `  S
146ralrimiva 2386 . . . . . . 7  N `  F `
 S
157fnmpt 4968 . . . . . . 7  N `  F `  S  |->  N `
 F `  Fn
1614, 15syl 14 . . . . . 6  |->  N `  F `
 Fn
179fneq1d 4932 . . . . . 6  G  Fn  |->  N `  F `
 Fn
1816, 17mpbird 156 . . . . 5  G  Fn
19 dffn5im 5162 . . . . 5  G  Fn  G  |->  G `
2018, 19syl 14 . . . 4  G  |->  G `
214feqmptd 5169 . . . 4  F  |->  F `
221, 12, 13, 20, 21offval2 5668 . . 3  G  o F R F  |->  G `  R F `
239fveq1d 5123 . . . . . . . 8  G `  |->  N `
 F `  `
2423adantr 261 . . . . . . 7  G `  |->  N `  F `
 `
25 simpr 103 . . . . . . . 8
262adantr 261 . . . . . . . . 9  N : S --> S
2726, 13ffvelrnd 5246 . . . . . . . 8  N `  F `  S
28 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10  F `  F `
2928fveq2d 5125 . . . . . . . . 9  N `  F `  N `  F `
3029, 7fvmptg 5191 . . . . . . . 8  N `  F `
 S  |->  N `  F `
 `  N `  F `
3125, 27, 30syl2anc 391 . . . . . . 7  |->  N `
 F `  `  N `  F `
3224, 31eqtrd 2069 . . . . . 6  G `  N `  F `
3332oveq1d 5470 . . . . 5  G `
 R F `  N `  F `
 R F `
34 caofinvl.6 . . . . . . . 8  S  N `
 R
3534ralrimiva 2386 . . . . . . 7  S  N `  R
3635adantr 261 . . . . . 6  S  N `
 R
37 fveq2 5121 . . . . . . . . 9  F `  N `  N `  F `
38 id 19 . . . . . . . . 9  F `  F `
3937, 38oveq12d 5473 . . . . . . . 8  F `  N `  R  N `  F `  R F `
4039eqeq1d 2045 . . . . . . 7  F `  N `  R  N `
 F `  R F `
4140rspcva 2648 . . . . . 6  F `  S  S  N `  R  N `  F `
 R F `
4213, 36, 41syl2anc 391 . . . . 5  N `
 F `  R F `
4333, 42eqtrd 2069 . . . 4  G `
 R F `
4443mpteq2dva 3838 . . 3  |->  G `  R F `  |->
4522, 44eqtrd 2069 . 2  G  o F R F  |->
46 fconstmpt 4330 . 2  X.  { }  |->
4745, 46syl6eqr 2087 1  G  o F R F  X.  { }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   {csn 3367    |-> cmpt 3809    X. cxp 4286    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    o Fcof 5652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator