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Theorem tfrlemisucaccv 5939
Description: We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. Lemma for tfrlemi1 5946. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrlemisucfn.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
tfrlemisucfn.3  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
tfrlemisucfn.4  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
tfrlemisucfn.5  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
Assertion
Ref Expression
tfrlemisucaccv  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g, x, y, z, A    f, F, g, x, y, z    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucaccv
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
2 suceloni 4227 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  z  e.  On )
4 tfrlemisucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
5 tfrlemisucfn.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
6 tfrlemisucfn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
7 tfrlemisucfn.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
84, 5, 1, 6, 7tfrlemisucfn 5938 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  suc  z )
9 vex 2560 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
109elsuc 4143 . . . . 5  |-  ( u  e.  suc  z  <->  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )
11 vex 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
124, 11tfrlem3a 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) ) )
137, 12sylib 127 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u
)  =  ( F `
 ( g  |`  u ) ) ) )
14 simprrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) )
15 simprrl 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  v )
166adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  z )
17 fndmu 5000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  v  /\  g  Fn  z )  ->  v  =  z )
1815, 16, 17syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  v  =  z )
1918raleqdv 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) ) )
2014, 19mpbid 135 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) )
2113, 20rexlimddv 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( F `
 ( g  |`  u ) ) )
2221r19.21bi 2407 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) )
23 elirrv 4272 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  u  e.  u
24 elequ2 1601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  u ) )
2523, 24mtbiri 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  -.  u  e.  z )
2625necon2ai 2259 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  z  ->  z  =/=  u )
2726adantl 262 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  z  =/=  u )
28 fvunsng 5357 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  z  =/=  u )  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
299, 27, 28sylancr 393 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
30 eloni 4112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
311, 30syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  z )
32 ordelss 4116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  z  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
3331, 32sylan 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
34 resabs1 4640 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  z  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  u
) )
3533, 34syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  u
) )
36 elirrv 4272 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  z  e.  z
37 fsnunres 5364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  z  /\  -.  z  e.  z
)  ->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z )  =  g )
386, 36, 37sylancl 392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  =  g )
3938reseq1d 4611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
4039adantr 261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
4135, 40eqtr3d 2074 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
4241fveq2d 5182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  ( F `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( F `  (
g  |`  u ) ) )
4322, 29, 423eqtr4d 2082 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
445tfrlem3-2d 5928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  ( F `  g )  e.  _V ) )
4544simprd 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  g
)  e.  _V )
46 fndm 4998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  Fn  z  ->  dom  g  =  z )
476, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  g  =  z )
4847eleq2d 2107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  g 
<->  z  e.  z ) )
4936, 48mtbiri 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  g )
50 fsnunfv 5363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( F `  g )  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 z )  =  ( F `  g
) )
511, 45, 49, 50syl3anc 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  z
)  =  ( F `
 g ) )
5251adantr 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  z
)  =  ( F `
 g ) )
53 simpr 103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  u  =  z )
5453fveq2d 5182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 z ) )
55 reseq2 4607 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z ) )
5655, 38sylan9eqr 2094 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  g )
5756fveq2d 5182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  ( F `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( F `  g
) )
5852, 54, 573eqtr4d 2082 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
5943, 58jaodan 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
6010, 59sylan2b 271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  suc  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
6160ralrimiva 2392 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
62 fneq2 4988 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  suc  z ) )
63 raleq 2505 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( A. u  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) )  <->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )
6462, 63anbi12d 442 . . . 4  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) ) )
6564rspcev 2656 . . 3  |-  ( ( suc  z  e.  On  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )  ->  E. w  e.  On  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
663, 8, 61, 65syl12anc 1133 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  On  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
67 vex 2560 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
68 opexg 3964 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
6967, 45, 68sylancr 393 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
70 snexg 3936 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( F `  g ) >. }  e.  _V )
7169, 70syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( F `  g )
>. }  e.  _V )
72 unexg 4178 . . . 4  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( F `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
7311, 71, 72sylancr 393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
744tfrlem3ag 5924 . . 3  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A  <->  E. w  e.  On  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
7573, 74syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  A  <->  E. w  e.  On  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
7666, 75mpbird 156 1  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ wo 629   A.wal 1241    = wceq 1243    e. wcel 1393   {cab 2026    =/= wne 2204   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557    u. cun 2915    C_ wss 2917   {csn 3375   <.cop 3378   Ord word 4099   Oncon0 4100   suc csuc 4102   dom cdm 4345    |` cres 4347   Fun wfun 4896    Fn wfn 4897   ` cfv 4902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910
This theorem is referenced by:  tfrlemibacc  5940  tfrlemi14d  5947
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