Theorem fvunsng 5300

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsng	|- (( D e. V /\ B =/= D) -> ((A u. { <.B , C >. }) ` D) = (A ` D))

Proof of Theorem fvunsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidg 3392	. . . 4 |- ( D e. V -> D e. { D })
2		fvres 5141	. . . 4 |- ( D e. { D } -> (((A u. { <.B , C >. }) |` { D }) ` D) = ((A u. { <.B , C >. }) ` D))
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> (((A u. { <.B , C >. }) |` { D }) ` D) = ((A u. { <.B , C >. }) ` D))
4		resundir 4569	. . . . 5 |- ((A u. { <.B , C >. }) |` { D }) = ((A |` { D }) u. ( { <.B , C >. } |` { D }))
5		elsni 3391	. . . . . . . . 9 |- (B e. { D } -> B = D)
6	5	necon3ai 2248	. . . . . . . 8 |- (B =/= D -> -. B e. { D })
7		ressnop0 5287	. . . . . . . 8 |- (-. B e. { D } -> ( { <.B , C >. } |` { D }) = (/))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- (B =/= D -> ( { <.B , C >. } |` { D }) = (/))
9	8	uneq2d 3091	. . . . . 6 |- (B =/= D -> ((A |` { D }) u. ( { <.B , C >. } |` { D })) = ((A |` { D }) u. (/)))
10		un0 3245	. . . . . 6 |- ((A |` { D }) u. (/)) = (A |` { D })
11	9, 10	syl6eq 2085	. . . . 5 |- (B =/= D -> ((A |` { D }) u. ( { <.B , C >. } |` { D })) = (A |` { D }))
12	4, 11	syl5eq 2081	. . . 4 |- (B =/= D -> ((A u. { <.B , C >. }) |` { D }) = (A |` { D }))
13	12	fveq1d 5123	. . 3 |- (B =/= D -> (((A u. { <.B , C >. }) |` { D }) ` D) = ((A |` { D }) ` D))
14	3, 13	sylan9req 2090	. 2 |- (( D e. V /\ B =/= D) -> ((A u. { <.B , C >. }) ` D) = ((A |` { D }) ` D))
15		fvres 5141	. . . 4 |- ( D e. { D } -> ((A |` { D }) ` D) = (A ` D))
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( D e. V -> ((A |` { D }) ` D) = (A ` D))
17	16	adantr 261	. 2 |- (( D e. V /\ B =/= D) -> ((A |` { D }) ` D) = (A ` D))
18	14, 17	eqtrd 2069	1 |- (( D e. V /\ B =/= D) -> ((A u. { <.B , C >. }) ` D) = (A ` D))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1242   e. wcel 1390   =/= wne 2201   u. cun 2909   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   |` cres 4290   ` cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-res 4300  df-iota 4810  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  fvpr1  5308  fvpr1g  5310  fvpr2g  5311  fvtp1g  5312  tfrlemisucaccv  5880