Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrlemi1 Unicode version

Theorem tfrlemi1 5946
 Description: We can define an acceptable function on any ordinal. As with many of the transfinite recursion theorems, we have a hypothesis that states that is a function and that it is defined for all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1
tfrlemisucfn.2
Assertion
Ref Expression
tfrlemi1
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem tfrlemi1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . . . 7
2 simpl 102 . . . . . . 7
31, 2fneq12d 4991 . . . . . 6
41fveq1d 5180 . . . . . . . 8
51reseq1d 4611 . . . . . . . . 9
65fveq2d 5182 . . . . . . . 8
74, 6eqeq12d 2054 . . . . . . 7
82, 7raleqbidv 2517 . . . . . 6
93, 8anbi12d 442 . . . . 5
109cbvexdva 1804 . . . 4
1110imbi2d 219 . . 3
12 fneq2 4988 . . . . . 6
13 raleq 2505 . . . . . 6
1412, 13anbi12d 442 . . . . 5
1514exbidv 1706 . . . 4
1615imbi2d 219 . . 3
17 r19.21v 2396 . . . 4
18 tfrlemisucfn.1 . . . . . . . . 9
1918tfrlem3 5926 . . . . . . . 8
20 tfrlemisucfn.2 . . . . . . . . . 10
21 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . 13
2221eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . 12
2322anbi2d 437 . . . . . . . . . . 11
2423cbvalv 1794 . . . . . . . . . 10
2520, 24sylib 127 . . . . . . . . 9
2625adantr 261 . . . . . . . 8
27 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13
28 simplr 482 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28fneq12d 4991 . . . . . . . . . . . 12
3027eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . 12
31 simpll 481 . . . . . . . . . . . . 13
3227fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3328, 32opeq12d 3557 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433sneqd 3388 . . . . . . . . . . . . . 14
3527, 34uneq12d 3098 . . . . . . . . . . . . 13
3631, 35eqeq12d 2054 . . . . . . . . . . . 12
3729, 30, 363anbi123d 1207 . . . . . . . . . . 11
3837cbvexdva 1804 . . . . . . . . . 10
3938cbvrexdva 2540 . . . . . . . . 9
4039cbvabv 2161 . . . . . . . 8
41 simpl 102 . . . . . . . . 9
4241adantl 262 . . . . . . . 8
43 simpr 103 . . . . . . . . . 10
44 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14
45 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45fneq12d 4991 . . . . . . . . . . . . 13
47 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4947, 48fveq12d 5184 . . . . . . . . . . . . . . 15
5047, 48reseq12d 4613 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15
5249, 51eqeq12d 2054 . . . . . . . . . . . . . 14
53 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . 14
5452, 53cbvraldva2 2537 . . . . . . . . . . . . 13
5546, 54anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12
5655cbvexdva 1804 . . . . . . . . . . 11
5756cbvralv 2533 . . . . . . . . . 10
5843, 57sylib 127 . . . . . . . . 9
5958adantl 262 . . . . . . . 8
6019, 26, 40, 42, 59tfrlemiex 5945 . . . . . . 7
6160expr 357 . . . . . 6
6261expcom 109 . . . . 5
6362a2d 23 . . . 4
6417, 63syl5bi 141 . . 3
6511, 16, 64tfis3 4309 . 2
6665impcom 116 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 885  wal 1241   wceq 1243  wex 1381   wcel 1393  cab 2026  wral 2306  wrex 2307  cvv 2557   cun 2915  csn 3375  cop 3378  con0 4100   cres 4347   wfun 4896   wfn 4897  cfv 4902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-recs 5920 This theorem is referenced by:  tfrlemi14d  5947  tfrexlem  5948
 Copyright terms: Public domain W3C validator