Theorem fsnunfv 5306

Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunfv	|- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> (( F u. { <. X , Y >. }) ` X) = Y)

Proof of Theorem fsnunfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4575	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` { X }) = ( { X } i^i dom F)
2		incom 3123	. . . . . . . . 9 |- ( { X } i^i dom F) = ( dom F i^i { X })
3	1, 2	eqtri 2057	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` { X }) = ( dom F i^i { X })
4		disjsn 3423	. . . . . . . . 9 |- (( dom F i^i { X }) = (/) <-> -. X e. dom F)
5	4	biimpri 124	. . . . . . . 8 |- (-. X e. dom F -> ( dom F i^i { X }) = (/))
6	3, 5	syl5eq 2081	. . . . . . 7 |- (-. X e. dom F -> dom ( F |` { X }) = (/))
7	6	3ad2ant3 926	. . . . . 6 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> dom ( F |` { X }) = (/))
8		relres 4582	. . . . . . 7 |- Rel ( F |` { X })
9		reldm0 4496	. . . . . . 7 |- ( Rel ( F |` { X }) -> (( F |` { X }) = (/) <-> dom ( F |` { X }) = (/)))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (( F |` { X }) = (/) <-> dom ( F |` { X }) = (/))
11	7, 10	sylibr 137	. . . . 5 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> ( F |` { X }) = (/))
12		fnsng 4890	. . . . . . 7 |- (( X e. V /\ Y e. W) -> { <. X , Y >. } Fn { X })
13	12	3adant3 923	. . . . . 6 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> { <. X , Y >. } Fn { X })
14		fnresdm 4951	. . . . . 6 |- ( { <. X , Y >. } Fn { X } -> ( { <. X , Y >. } |` { X }) = { <. X , Y >. })
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> ( { <. X , Y >. } |` { X }) = { <. X , Y >. })
16	11, 15	uneq12d 3092	. . . 4 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> (( F |` { X }) u. ( { <. X , Y >. } |` { X })) = ( (/) u. { <. X , Y >. }))
17		resundir 4569	. . . 4 |- (( F u. { <. X , Y >. }) |` { X }) = (( F |` { X }) u. ( { <. X , Y >. } |` { X }))
18		uncom 3081	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. X , Y >. }) = ( { <. X , Y >. } u. (/))
19		un0 3245	. . . . 5 |- ( { <. X , Y >. } u. (/)) = { <. X , Y >. }
20	18, 19	eqtr2i 2058	. . . 4 |- { <. X , Y >. } = ( (/) u. { <. X , Y >. })
21	16, 17, 20	3eqtr4g 2094	. . 3 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> (( F u. { <. X , Y >. }) |` { X }) = { <. X , Y >. })
22	21	fveq1d 5123	. 2 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> ((( F u. { <. X , Y >. }) |` { X }) ` X) = ( { <. X , Y >. } ` X))
23		snidg 3392	. . . 4 |- ( X e. V -> X e. { X })
24	23	3ad2ant1 924	. . 3 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> X e. { X })
25		fvres 5141	. . 3 |- ( X e. { X } -> ((( F u. { <. X , Y >. }) |` { X }) ` X) = (( F u. { <. X , Y >. }) ` X))
26	24, 25	syl 14	. 2 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> ((( F u. { <. X , Y >. }) |` { X }) ` X) = (( F u. { <. X , Y >. }) ` X))
27		fvsng 5302	. . 3 |- (( X e. V /\ Y e. W) -> ( { <. X , Y >. } ` X) = Y)
28	27	3adant3 923	. 2 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> ( { <. X , Y >. } ` X) = Y)
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2077	1 |- (( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F) -> (( F u. { <. X , Y >. }) ` X) = Y)

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   u. cun 2909   i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   dom cdm 4288   |` cres 4290   Rel wrel 4293   Fn wfn 4840   ` cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  5880