ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsnunfv Unicode version

Theorem fsnunfv 5306
Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fsnunfv  X  V  Y  W  X  dom  F  F  u.  { <. X ,  Y >. } `
 X  Y

Proof of Theorem fsnunfv
StepHypRef Expression
1 dmres 4575 . . . . . . . . 9  dom  F  |`  { X }  { X }  i^i  dom  F
2 incom 3123 . . . . . . . . 9  { X }  i^i  dom  F  dom  F  i^i  { X }
31, 2eqtri 2057 . . . . . . . 8  dom  F  |`  { X }  dom  F  i^i  { X }
4 disjsn 3423 . . . . . . . . 9  dom  F  i^i  { X }  (/)  X  dom  F
54biimpri 124 . . . . . . . 8  X  dom  F  dom  F  i^i  { X }  (/)
63, 5syl5eq 2081 . . . . . . 7  X  dom  F  dom  F  |`  { X }  (/)
763ad2ant3 926 . . . . . 6  X  V  Y  W  X  dom  F  dom  F  |`  { X }  (/)
8 relres 4582 . . . . . . 7  Rel  F  |`  { X }
9 reldm0 4496 . . . . . . 7  Rel  F  |`  { X }  F  |`  { X }  (/)  dom  F  |`  { X }  (/)
108, 9ax-mp 7 . . . . . 6  F  |`  { X }  (/)  dom  F  |`  { X }  (/)
117, 10sylibr 137 . . . . 5  X  V  Y  W  X  dom  F  F  |`  { X }  (/)
12 fnsng 4890 . . . . . . 7  X  V  Y  W  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X }
13123adant3 923 . . . . . 6  X  V  Y  W  X  dom  F  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X }
14 fnresdm 4951 . . . . . 6  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X }  { <. X ,  Y >. }  |`  { X }  { <. X ,  Y >. }
1513, 14syl 14 . . . . 5  X  V  Y  W  X  dom  F  { <. X ,  Y >. }  |`  { X }  { <. X ,  Y >. }
1611, 15uneq12d 3092 . . . 4  X  V  Y  W  X  dom  F  F  |`  { X }  u.  { <. X ,  Y >. }  |`  { X }  (/)  u.  { <. X ,  Y >. }
17 resundir 4569 . . . 4  F  u.  { <. X ,  Y >. }  |`  { X }  F  |`  { X }  u.  { <. X ,  Y >. }  |`  { X }
18 uncom 3081 . . . . 5  (/)  u. 
{ <. X ,  Y >. }  { <. X ,  Y >. }  u.  (/)
19 un0 3245 . . . . 5  { <. X ,  Y >. }  u.  (/)  { <. X ,  Y >. }
2018, 19eqtr2i 2058 . . . 4  { <. X ,  Y >. }  (/)  u.  { <. X ,  Y >. }
2116, 17, 203eqtr4g 2094 . . 3  X  V  Y  W  X  dom  F  F  u.  { <. X ,  Y >. }  |`  { X }  { <. X ,  Y >. }
2221fveq1d 5123 . 2  X  V  Y  W  X  dom  F  F  u.  { <. X ,  Y >. }  |`  { X } `  X  { <. X ,  Y >. } `
 X
23 snidg 3392 . . . 4  X  V  X  { X }
24233ad2ant1 924 . . 3  X  V  Y  W  X  dom  F  X 
{ X }
25 fvres 5141 . . 3  X  { X }  F  u.  { <. X ,  Y >. }  |`  { X } `  X  F  u.  { <. X ,  Y >. } `
 X
2624, 25syl 14 . 2  X  V  Y  W  X  dom  F  F  u.  { <. X ,  Y >. }  |`  { X } `  X  F  u.  { <. X ,  Y >. } `  X
27 fvsng 5302 . . 3  X  V  Y  W  { <. X ,  Y >. } `  X  Y
28273adant3 923 . 2  X  V  Y  W  X  dom  F  { <. X ,  Y >. } `
 X  Y
2922, 26, 283eqtr3d 2077 1  X  V  Y  W  X  dom  F  F  u.  { <. X ,  Y >. } `
 X  Y
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   dom cdm 4288    |` cres 4290   Rel wrel 4293    Fn wfn 4840   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  5880
  Copyright terms: Public domain W3C validator