Theorem qreccl 8351

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	|- ((A e. QQ /\ A =/= 0) -> ( 1 / A) e. QQ)

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 6776	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		1ap0 7374	. . . . . 6 |- 1 # 0
3	1, 2	div0api 7504	. . . . 5 |- ( 0 / 1) = 0
4		0z 8032	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
5		1nn 7706	. . . . . 6 |- 1 e. NN
6		znq 8335	. . . . . 6 |- (( 0 e. ZZ /\ 1 e. NN) -> ( 0 / 1) e. QQ)
7	4, 5, 6	mp2an 402	. . . . 5 |- ( 0 / 1) e. QQ
8	3, 7	eqeltrri 2108	. . . 4 |- 0 e. QQ
9		qapne 8350	. . . 4 |- ((A e. QQ /\ 0 e. QQ) -> (A # 0 <-> A =/= 0))
10	8, 9	mpan2 401	. . 3 |- (A e. QQ -> (A # 0 <-> A =/= 0))
11	10	biimpar 281	. 2 |- ((A e. QQ /\ A =/= 0) -> A # 0)
12		elq 8333	. . . 4 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
13		nnne0 7723	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> y =/= 0)
14	13	ancli 306	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (y e. NN /\ y =/= 0))
15		nnz 8040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. NN -> y e. ZZ)
16		zapne 8091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. ZZ /\ 0 e. ZZ) -> (y # 0 <-> y =/= 0))
17	15, 4, 16	sylancl 392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. NN -> (y # 0 <-> y =/= 0))
18	17	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (y # 0 <-> y =/= 0))
19	18	pm5.32i 427	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) <-> ((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0))
20	19	anbi1i 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) /\ A = (x / y)) <-> (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)))
21		breq1 3758	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A = (x / y) -> (A # 0 <-> (x / y) # 0))
22		zcn 8026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
23		nncn 7703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. NN -> y e. CC)
24	22, 23	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (x e. CC /\ y e. CC))
25		divap0b 7444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ y # 0) -> (x # 0 <-> (x / y) # 0))
26	25	3expa 1103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x e. CC /\ y e. CC) /\ y # 0) -> (x # 0 <-> (x / y) # 0))
27	24, 26	sylan 267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) -> (x # 0 <-> (x / y) # 0))
28	27	bicomd 129	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) -> ((x / y) # 0 <-> x # 0))
29	21, 28	sylan9bbr 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) /\ A = (x / y)) -> (A # 0 <-> x # 0))
30	20, 29	sylbir 125	. . . . . . . . . . 11 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) -> (A # 0 <-> x # 0))
31		simplll 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) -> x e. ZZ)
32		zapne 8091	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ 0 e. ZZ) -> (x # 0 <-> x =/= 0))
33	31, 4, 32	sylancl 392	. . . . . . . . . . 11 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) -> (x # 0 <-> x =/= 0))
34	30, 33	bitrd 177	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) -> (A # 0 <-> x =/= 0))
35		zmulcl 8073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (x x. y) e. ZZ)
36	15, 35	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (x x. y) e. ZZ)
37	36	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ x =/= 0) -> (x x. y) e. ZZ)
38		msqznn 8114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. ZZ /\ x =/= 0) -> (x x. x) e. NN)
39	38	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ x =/= 0) -> (x x. x) e. NN)
40	37, 39	jca 290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ x =/= 0) -> ((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN))
41	40	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ x =/= 0) -> ((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN))
42	41	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) /\ x =/= 0) -> ((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN))
43	20	anbi1i 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) /\ A = (x / y)) /\ x # 0) <-> ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) /\ x # 0))
44	33	pm5.32i 427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) /\ x # 0) <-> ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) /\ x =/= 0))
45	43, 44	bitri 173	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) /\ A = (x / y)) /\ x # 0) <-> ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) /\ x =/= 0))
46		oveq2 5463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A = (x / y) -> ( 1 / A) = ( 1 / (x / y)))
47		dividap 7460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. CC /\ x # 0) -> (x / x) = 1)
48	47	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x e. CC /\ x # 0) /\ (y e. CC /\ y # 0)) -> (x / x) = 1)
49	48	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x e. CC /\ x # 0) /\ (y e. CC /\ y # 0)) -> ((x / x) / (x / y)) = ( 1 / (x / y)))
50		simpll 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x e. CC /\ x # 0) /\ (y e. CC /\ y # 0)) -> x e. CC)
51		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x e. CC /\ x # 0) /\ (y e. CC /\ y # 0)) -> (x e. CC /\ x # 0))
52		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x e. CC /\ x # 0) /\ (y e. CC /\ y # 0)) -> (y e. CC /\ y # 0))
53		divdivdivap 7471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x e. CC /\ (x e. CC /\ x # 0)) /\ ((x e. CC /\ x # 0) /\ (y e. CC /\ y # 0))) -> ((x / x) / (x / y)) = ((x x. y) / (x x. x)))
54	50, 51, 51, 52, 53	syl22anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x e. CC /\ x # 0) /\ (y e. CC /\ y # 0)) -> ((x / x) / (x / y)) = ((x x. y) / (x x. x)))
55	49, 54	eqtr3d 2071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x e. CC /\ x # 0) /\ (y e. CC /\ y # 0)) -> ( 1 / (x / y)) = ((x x. y) / (x x. x)))
56	55	an4s 522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((x e. CC /\ y e. CC) /\ (x # 0 /\ y # 0)) -> ( 1 / (x / y)) = ((x x. y) / (x x. x)))
57	24, 56	sylan 267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (x # 0 /\ y # 0)) -> ( 1 / (x / y)) = ((x x. y) / (x x. x)))
58	57	anass1rs 505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) /\ x # 0) -> ( 1 / (x / y)) = ((x x. y) / (x x. x)))
59	46, 58	sylan9eqr 2091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) /\ x # 0) /\ A = (x / y)) -> ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x)))
60	59	an32s 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y # 0) /\ A = (x / y)) /\ x # 0) -> ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x)))
61	45, 60	sylbir 125	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) /\ x =/= 0) -> ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x)))
62	42, 61	jca 290	. . . . . . . . . . 11 |- (((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) /\ x =/= 0) -> (((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN) /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x))))
63	62	ex 108	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) -> (x =/= 0 -> (((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN) /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x)))))
64	34, 63	sylbid 139	. . . . . . . . 9 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) /\ A = (x / y)) -> (A # 0 -> (((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN) /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x)))))
65	64	ex 108	. . . . . . . 8 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ y =/= 0) -> (A = (x / y) -> (A # 0 -> (((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN) /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x))))))
66	65	anasss 379	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ (y e. NN /\ y =/= 0)) -> (A = (x / y) -> (A # 0 -> (((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN) /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x))))))
67	14, 66	sylan2 270	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> (A # 0 -> (((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN) /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x))))))
68		rspceov 5489	. . . . . . . 8 |- (((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x))) -> E.z e. ZZ E.w e. NN ( 1 / A) = (z / w))
69	68	3expa 1103	. . . . . . 7 |- ((((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN) /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x))) -> E.z e. ZZ E.w e. NN ( 1 / A) = (z / w))
70		elq 8333	. . . . . . 7 |- (( 1 / A) e. QQ <-> E.z e. ZZ E.w e. NN ( 1 / A) = (z / w))
71	69, 70	sylibr 137	. . . . . 6 |- ((((x x. y) e. ZZ /\ (x x. x) e. NN) /\ ( 1 / A) = ((x x. y) / (x x. x))) -> ( 1 / A) e. QQ)
72	67, 71	syl8 65	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> (A # 0 -> ( 1 / A) e. QQ)))
73	72	rexlimivv 2432	. . . 4 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> (A # 0 -> ( 1 / A) e. QQ))
74	12, 73	sylbi 114	. . 3 |- (A e. QQ -> (A # 0 -> ( 1 / A) e. QQ))
75	74	imp 115	. 2 |- ((A e. QQ /\ A # 0) -> ( 1 / A) e. QQ)
76	11, 75	syldan 266	1 |- ((A e. QQ /\ A =/= 0) -> ( 1 / A) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242   e. wcel 1390   =/= wne 2201  E.wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711   1c1 6712   x. cmul 6716   # cap 7365   / cdiv 7433   NNcn 7695   ZZcz 8021   QQcq 8330

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-q 8331

This theorem is referenced by:  qdivcl  8352  qexpclz  8930