Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdivdivap Unicode version

Theorem divdivdivap 7689
 Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divdivdivap # # #

Proof of Theorem divdivdivap
StepHypRef Expression
1 simprrl 491 . . . . . . 7 # # #
2 simprll 489 . . . . . . 7 # # #
3 simprlr 490 . . . . . . 7 # # # #
4 divclap 7657 . . . . . . 7 #
51, 2, 3, 4syl3anc 1135 . . . . . 6 # # #
6 simpll 481 . . . . . . 7 # # #
7 simplrl 487 . . . . . . 7 # # #
8 simplrr 488 . . . . . . 7 # # # #
9 divclap 7657 . . . . . . 7 #
106, 7, 8, 9syl3anc 1135 . . . . . 6 # # #
115, 10mulcomd 7048 . . . . 5 # # #
12 simplr 482 . . . . . 6 # # # #
13 simprl 483 . . . . . 6 # # # #
14 divmuldivap 7688 . . . . . 6 # #
156, 1, 12, 13, 14syl22anc 1136 . . . . 5 # # #
1611, 15eqtrd 2072 . . . 4 # # #
1716oveq2d 5528 . . 3 # # #
18 simprr 484 . . . . . . 7 # # # #
19 divmuldivap 7688 . . . . . . 7 # #
202, 1, 18, 13, 19syl22anc 1136 . . . . . 6 # # #
212, 1mulcomd 7048 . . . . . . . 8 # # #
2221oveq1d 5527 . . . . . . 7 # # #
231, 2mulcld 7047 . . . . . . . 8 # # #
24 simprrr 492 . . . . . . . . 9 # # # #
251, 2, 24, 3mulap0d 7639 . . . . . . . 8 # # # #
26 dividap 7678 . . . . . . . 8 #
2723, 25, 26syl2anc 391 . . . . . . 7 # # #
2822, 27eqtrd 2072 . . . . . 6 # # #
2920, 28eqtrd 2072 . . . . 5 # # #
3029oveq1d 5527 . . . 4 # # #
31 divclap 7657 . . . . . 6 #
322, 1, 24, 31syl3anc 1135 . . . . 5 # # #
3332, 5, 10mulassd 7050 . . . 4 # # #
3410mulid2d 7045 . . . 4 # # #
3530, 33, 343eqtr3d 2080 . . 3 # # #
3617, 35eqtr3d 2074 . 2 # # #
376, 1mulcld 7047 . . . 4 # # #
387, 2mulcld 7047 . . . 4 # # #
39 mulap0 7635 . . . . 5 # # #
4039ad2ant2lr 479 . . . 4 # # # #
41 divclap 7657 . . . 4 #
4237, 38, 40, 41syl3anc 1135 . . 3 # # #
43 divap0 7663 . . . 4 # # #
4443adantl 262 . . 3 # # # #
45 divmulap 7654 . . 3 #
4610, 42, 32, 44, 45syl112anc 1139 . 2 # # #
4736, 46mpbird 156 1 # # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1243   wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cc 6887  cc0 6889  c1 6890   cmul 6894   # cap 7572   cdiv 7651 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652 This theorem is referenced by:  recdivap  7694  divcanap7  7697  divdivap1  7699  divdivap2  7700  divdivdivapi  7751  qreccl  8576
 Copyright terms: Public domain W3C validator