Theorem opabex3 5672

Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex3.1	⊢ A ∈ V
opabex3.2	⊢ (x ∈ A → {y ∣ φ} ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
opabex3	⊢ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)} ∈ V

Distinct variable group:   x,A,y

Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem opabex3

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42v 1768	. . . . . 6 ⊢ (∃y(x ∈ A ∧ (z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)) ↔ (x ∈ A ∧ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
2		an12 483	. . . . . . 7 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)) ↔ (x ∈ A ∧ (z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
3	2	exbii 1478	. . . . . 6 ⊢ (∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)) ↔ ∃y(x ∈ A ∧ (z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
4		elxp 4289	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃v∃w(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
5		excom 1536	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v∃w(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ ∃w∃v(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
6		an12 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (v ∈ {x} ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
7		elsn 3365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v ∈ {x} ↔ v = x)
8	7	anbi1i 434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((v ∈ {x} ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (v = x ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
9	6, 8	bitri 173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (v = x ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
10	9	exbii 1478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃v(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ ∃v(v = x ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
11		vex 2538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ x ∈ V
12		opeq1 3523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = x → ⟨v, w⟩ = ⟨x, w⟩)
13	12	eqeq2d 2033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = x → (z = ⟨v, w⟩ ↔ z = ⟨x, w⟩))
14	13	anbi1d 441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = x → ((z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}) ↔ (z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
15	11, 14	ceqsexv 2570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃v(v = x ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}))
16	10, 15	bitri 173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃v(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}))
17	16	exbii 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w∃v(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ ∃w(z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}))
18	5, 17	bitri 173	. . . . . . . 8 ⊢ (∃v∃w(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ ∃w(z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}))
19		nfv 1402	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎy z = ⟨x, w⟩
20		nfsab1 2012	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎy w ∈ {y ∣ φ}
21	19, 20	nfan 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎy(z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})
22		nfv 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎw(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)
23		opeq2 3524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = y → ⟨x, w⟩ = ⟨x, y⟩)
24	23	eqeq2d 2033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = y → (z = ⟨x, w⟩ ↔ z = ⟨x, y⟩))
25		sbequ12 1636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = w → (φ ↔ [w / y]φ))
26	25	equcoms 1576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = y → (φ ↔ [w / y]φ))
27		df-clab 2009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ {y ∣ φ} ↔ [w / y]φ)
28	26, 27	syl6rbbr 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = y → (w ∈ {y ∣ φ} ↔ φ))
29	24, 28	anbi12d 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = y → ((z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}) ↔ (z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
30	21, 22, 29	cbvex 1621	. . . . . . . 8 ⊢ (∃w(z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}) ↔ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
31	4, 18, 30	3bitri 195	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
32	31	anbi2i 433	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})) ↔ (x ∈ A ∧ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
33	1, 3, 32	3bitr4ri 202	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})) ↔ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)))
34	33	exbii 1478	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)))
35		eliun 3635	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃x ∈ A z ∈ ({x} × {y ∣ φ}))
36		df-rex 2290	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A z ∈ ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})))
37	35, 36	bitri 173	. . . 4 ⊢ (z ∈ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})))
38		elopab 3969	. . . 4 ⊢ (z ∈ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)} ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)))
39	34, 37, 38	3bitr4i 201	. . 3 ⊢ (z ∈ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ↔ z ∈ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)})
40	39	eqriv 2019	. 2 ⊢ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)}
41		opabex3.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
42		snexg 3910	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ V → {x} ∈ V)
43	11, 42	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ {x} ∈ V
44		opabex3.2	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → {y ∣ φ} ∈ V)
45		xpexg 4379	. . . . 5 ⊢ (({x} ∈ V ∧ {y ∣ φ} ∈ V) → ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V)
46	43, 44, 45	sylancr 395	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V)
47	46	rgen 2352	. . 3 ⊢ ∀x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V
48		iunexg 5669	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ ∀x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V) → ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V)
49	41, 47, 48	mp2an 404	. 2 ⊢ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V
50	40, 49	eqeltrri 2093	1 ⊢ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)} ∈ V

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  [wsb 1627  {cab 2008  ∀wral 2284  ∃wrex 2285  Vcvv 2535  {csn 3350  ⟨cop 3353  ∪ ciun 3631  {copab 3791   × cxp 4270

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837

This theorem is referenced by: (None)