Theorem opabex3 5691

Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex3.1	⊢ A ∈ V
opabex3.2	⊢ (x ∈ A → {y ∣ φ} ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
opabex3	⊢ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)} ∈ V

Distinct variable group:   x,A,y

Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem opabex3

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42v 1783	. . . . . 6 ⊢ (∃y(x ∈ A ∧ (z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)) ↔ (x ∈ A ∧ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
2		an12 495	. . . . . . 7 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)) ↔ (x ∈ A ∧ (z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
3	2	exbii 1493	. . . . . 6 ⊢ (∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)) ↔ ∃y(x ∈ A ∧ (z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
4		elxp 4305	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃v∃w(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
5		excom 1551	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v∃w(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ ∃w∃v(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
6		an12 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (v ∈ {x} ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
7		elsn 3382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v ∈ {x} ↔ v = x)
8	7	anbi1i 431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((v ∈ {x} ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (v = x ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
9	6, 8	bitri 173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (v = x ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
10	9	exbii 1493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃v(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ ∃v(v = x ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
11		vex 2554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ x ∈ V
12		opeq1 3540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = x → ⟨v, w⟩ = ⟨x, w⟩)
13	12	eqeq2d 2048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = x → (z = ⟨v, w⟩ ↔ z = ⟨x, w⟩))
14	13	anbi1d 438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = x → ((z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}) ↔ (z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})))
15	11, 14	ceqsexv 2587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃v(v = x ∧ (z = ⟨v, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}))
16	10, 15	bitri 173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃v(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ (z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}))
17	16	exbii 1493	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w∃v(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ ∃w(z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}))
18	5, 17	bitri 173	. . . . . . . 8 ⊢ (∃v∃w(z = ⟨v, w⟩ ∧ (v ∈ {x} ∧ w ∈ {y ∣ φ})) ↔ ∃w(z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}))
19		nfv 1418	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎy z = ⟨x, w⟩
20		nfsab1 2027	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎy w ∈ {y ∣ φ}
21	19, 20	nfan 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎy(z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ})
22		nfv 1418	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎw(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)
23		opeq2 3541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = y → ⟨x, w⟩ = ⟨x, y⟩)
24	23	eqeq2d 2048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = y → (z = ⟨x, w⟩ ↔ z = ⟨x, y⟩))
25		sbequ12 1651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = w → (φ ↔ [w / y]φ))
26	25	equcoms 1591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = y → (φ ↔ [w / y]φ))
27		df-clab 2024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ {y ∣ φ} ↔ [w / y]φ)
28	26, 27	syl6rbbr 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = y → (w ∈ {y ∣ φ} ↔ φ))
29	24, 28	anbi12d 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = y → ((z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}) ↔ (z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
30	21, 22, 29	cbvex 1636	. . . . . . . 8 ⊢ (∃w(z = ⟨x, w⟩ ∧ w ∈ {y ∣ φ}) ↔ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
31	4, 18, 30	3bitri 195	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
32	31	anbi2i 430	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})) ↔ (x ∈ A ∧ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)))
33	1, 3, 32	3bitr4ri 202	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})) ↔ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)))
34	33	exbii 1493	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)))
35		eliun 3652	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃x ∈ A z ∈ ({x} × {y ∣ φ}))
36		df-rex 2306	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A z ∈ ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})))
37	35, 36	bitri 173	. . . 4 ⊢ (z ∈ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ z ∈ ({x} × {y ∣ φ})))
38		elopab 3986	. . . 4 ⊢ (z ∈ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)} ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ φ)))
39	34, 37, 38	3bitr4i 201	. . 3 ⊢ (z ∈ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ↔ z ∈ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)})
40	39	eqriv 2034	. 2 ⊢ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)}
41		opabex3.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
42		snexg 3927	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ V → {x} ∈ V)
43	11, 42	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ {x} ∈ V
44		opabex3.2	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → {y ∣ φ} ∈ V)
45		xpexg 4395	. . . . 5 ⊢ (({x} ∈ V ∧ {y ∣ φ} ∈ V) → ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V)
46	43, 44, 45	sylancr 393	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V)
47	46	rgen 2368	. . 3 ⊢ ∀x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V
48		iunexg 5688	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ ∀x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V) → ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V)
49	41, 47, 48	mp2an 402	. 2 ⊢ ∪ x ∈ A ({x} × {y ∣ φ}) ∈ V
50	40, 49	eqeltrri 2108	1 ⊢ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ A ∧ φ)} ∈ V

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  [wsb 1642  {cab 2023  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  Vcvv 2551  {csn 3367  ⟨cop 3370  ∪ ciun 3648  {copab 3808   × cxp 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)