Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabex3 Structured version   GIF version

Theorem opabex3 5672
 Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3.1 A V
opabex3.2 (x A → {yφ} V)
Assertion
Ref Expression
opabex3 {⟨x, y⟩ ∣ (x A φ)} V
Distinct variable group:   x,A,y
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem opabex3
Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1768 . . . . . 6 (y(x A (z = ⟨x, y φ)) ↔ (x A y(z = ⟨x, y φ)))
2 an12 483 . . . . . . 7 ((z = ⟨x, y (x A φ)) ↔ (x A (z = ⟨x, y φ)))
32exbii 1478 . . . . . 6 (y(z = ⟨x, y (x A φ)) ↔ y(x A (z = ⟨x, y φ)))
4 elxp 4289 . . . . . . . 8 (z ({x} × {yφ}) ↔ vw(z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})))
5 excom 1536 . . . . . . . . 9 (vw(z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})) ↔ wv(z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})))
6 an12 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})) ↔ (v {x} (z = ⟨v, w w {yφ})))
7 elsn 3365 . . . . . . . . . . . . . 14 (v {x} ↔ v = x)
87anbi1i 434 . . . . . . . . . . . . 13 ((v {x} (z = ⟨v, w w {yφ})) ↔ (v = x (z = ⟨v, w w {yφ})))
96, 8bitri 173 . . . . . . . . . . . 12 ((z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})) ↔ (v = x (z = ⟨v, w w {yφ})))
109exbii 1478 . . . . . . . . . . 11 (v(z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})) ↔ v(v = x (z = ⟨v, w w {yφ})))
11 vex 2538 . . . . . . . . . . . 12 x V
12 opeq1 3523 . . . . . . . . . . . . . 14 (v = x → ⟨v, w⟩ = ⟨x, w⟩)
1312eqeq2d 2033 . . . . . . . . . . . . 13 (v = x → (z = ⟨v, w⟩ ↔ z = ⟨x, w⟩))
1413anbi1d 441 . . . . . . . . . . . 12 (v = x → ((z = ⟨v, w w {yφ}) ↔ (z = ⟨x, w w {yφ})))
1511, 14ceqsexv 2570 . . . . . . . . . . 11 (v(v = x (z = ⟨v, w w {yφ})) ↔ (z = ⟨x, w w {yφ}))
1610, 15bitri 173 . . . . . . . . . 10 (v(z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})) ↔ (z = ⟨x, w w {yφ}))
1716exbii 1478 . . . . . . . . 9 (wv(z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})) ↔ w(z = ⟨x, w w {yφ}))
185, 17bitri 173 . . . . . . . 8 (vw(z = ⟨v, w (v {x} w {yφ})) ↔ w(z = ⟨x, w w {yφ}))
19 nfv 1402 . . . . . . . . . 10 y z = ⟨x, w
20 nfsab1 2012 . . . . . . . . . 10 y w {yφ}
2119, 20nfan 1439 . . . . . . . . 9 y(z = ⟨x, w w {yφ})
22 nfv 1402 . . . . . . . . 9 w(z = ⟨x, y φ)
23 opeq2 3524 . . . . . . . . . . 11 (w = y → ⟨x, w⟩ = ⟨x, y⟩)
2423eqeq2d 2033 . . . . . . . . . 10 (w = y → (z = ⟨x, w⟩ ↔ z = ⟨x, y⟩))
25 sbequ12 1636 . . . . . . . . . . . 12 (y = w → (φ ↔ [w / y]φ))
2625equcoms 1576 . . . . . . . . . . 11 (w = y → (φ ↔ [w / y]φ))
27 df-clab 2009 . . . . . . . . . . 11 (w {yφ} ↔ [w / y]φ)
2826, 27syl6rbbr 188 . . . . . . . . . 10 (w = y → (w {yφ} ↔ φ))
2924, 28anbi12d 445 . . . . . . . . 9 (w = y → ((z = ⟨x, w w {yφ}) ↔ (z = ⟨x, y φ)))
3021, 22, 29cbvex 1621 . . . . . . . 8 (w(z = ⟨x, w w {yφ}) ↔ y(z = ⟨x, y φ))
314, 18, 303bitri 195 . . . . . . 7 (z ({x} × {yφ}) ↔ y(z = ⟨x, y φ))
3231anbi2i 433 . . . . . 6 ((x A z ({x} × {yφ})) ↔ (x A y(z = ⟨x, y φ)))
331, 3, 323bitr4ri 202 . . . . 5 ((x A z ({x} × {yφ})) ↔ y(z = ⟨x, y (x A φ)))
3433exbii 1478 . . . 4 (x(x A z ({x} × {yφ})) ↔ xy(z = ⟨x, y (x A φ)))
35 eliun 3635 . . . . 5 (z x A ({x} × {yφ}) ↔ x A z ({x} × {yφ}))
36 df-rex 2290 . . . . 5 (x A z ({x} × {yφ}) ↔ x(x A z ({x} × {yφ})))
3735, 36bitri 173 . . . 4 (z x A ({x} × {yφ}) ↔ x(x A z ({x} × {yφ})))
38 elopab 3969 . . . 4 (z {⟨x, y⟩ ∣ (x A φ)} ↔ xy(z = ⟨x, y (x A φ)))
3934, 37, 383bitr4i 201 . . 3 (z x A ({x} × {yφ}) ↔ z {⟨x, y⟩ ∣ (x A φ)})
4039eqriv 2019 . 2 x A ({x} × {yφ}) = {⟨x, y⟩ ∣ (x A φ)}
41 opabex3.1 . . 3 A V
42 snexg 3910 . . . . . 6 (x V → {x} V)
4311, 42ax-mp 7 . . . . 5 {x} V
44 opabex3.2 . . . . 5 (x A → {yφ} V)
45 xpexg 4379 . . . . 5 (({x} V {yφ} V) → ({x} × {yφ}) V)
4643, 44, 45sylancr 395 . . . 4 (x A → ({x} × {yφ}) V)
4746rgen 2352 . . 3 x A ({x} × {yφ}) V
48 iunexg 5669 . . 3 ((A V x A ({x} × {yφ}) V) → x A ({x} × {yφ}) V)
4941, 47, 48mp2an 404 . 2 x A ({x} × {yφ}) V
5040, 49eqeltrri 2093 1 {⟨x, y⟩ ∣ (x A φ)} V
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  [wsb 1627  {cab 2008  ∀wral 2284  ∃wrex 2285  Vcvv 2535  {csn 3350  ⟨cop 3353  ∪ ciun 3631  {copab 3791   × cxp 4270 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator