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Theorem opabex3 5736
Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3.1  |-  A  e. 
_V
opabex3.2  |-  ( x  e.  A  ->  { y  |  ph }  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
opabex3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem opabex3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1786 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) ) )
2 an12 495 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
32exbii 1496 . . . . . 6  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
4 elxp 4349 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. v E. w ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
5 excom 1554 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
6 an12 495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( v  e.  { x }  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
7 velsn 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x }  <->  v  =  x )
87anbi1i 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  { x }  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) ) )
96, 8bitri 173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( v  =  x  /\  (
z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
109exbii 1496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  E. v
( v  =  x  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
11 vex 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 opeq1 3546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  <. v ,  w >.  =  <. x ,  w >. )
1312eqeq2d 2051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
z  =  <. v ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  w >. )
)
1413anbi1d 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) ) )
1511, 14ceqsexv 2590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )
1610, 15bitri 173 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )
1716exbii 1496 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )
185, 17bitri 173 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )
19 nfv 1421 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  z  =  <. x ,  w >.
20 nfsab1 2030 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  { y  |  ph }
2119, 20nfan 1457 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )
22 nfv 1421 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )
23 opeq2 3547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  <. x ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
2423eqeq2d 2051 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  <. x ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  y >. )
)
25 sbequ12 1654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( ph 
<->  [ w  /  y ] ph ) )
2625equcoms 1594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( ph 
<->  [ w  /  y ] ph ) )
27 df-clab 2027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { y  | 
ph }  <->  [ w  /  y ] ph )
2826, 27syl6rbbr 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  { y  |  ph }  <->  ph ) )
2924, 28anbi12d 442 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) ) )
3021, 22, 29cbvex 1639 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( z  = 
<. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
314, 18, 303bitri 195 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3231anbi2i 430 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
331, 3, 323bitr4ri 202 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
3433exbii 1496 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
35 eliun 3658 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) )
36 df-rex 2309 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) ) )
3735, 36bitri 173 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) ) )
38 elopab 3992 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
3934, 37, 383bitr4i 201 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  z  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) } )
4039eqriv 2037 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
41 opabex3.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
42 snexg 3933 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  _V )
4311, 42ax-mp 7 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
44 opabex3.2 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  { y  |  ph }  e.  _V )
45 xpexg 4439 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  { y  | 
ph }  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  e. 
_V )
4643, 44, 45sylancr 393 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )
4746rgen 2371 . . 3  |-  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  e.  _V
48 iunexg 5733 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )
4941, 47, 48mp2an 402 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  e.  _V
5040, 49eqeltrri 2111 1  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   [wsb 1645   {cab 2026   A.wral 2303   E.wrex 2304   _Vcvv 2554   {csn 3372   <.cop 3375   U_ciun 3654   {copab 3814    X. cxp 4330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-id 4027  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897
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