ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabex3d Structured version   Unicode version

Theorem opabex3d 5690
Description: Existence of an ordered pair abstraction, deduction version. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3d.1  _V
opabex3d.2  {  |  }  _V
Assertion
Ref Expression
opabex3d  { <. , 
>.  |  }  _V
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem opabex3d
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1783 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.
2 an12 495 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.
32exbii 1493 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.
4 elxp 4305 . . . . . . . 8  { }  X.  {  |  } 
<. ,  >.  { }  {  |  }
5 excom 1551 . . . . . . . . 9  <. ,  >. 
{ }  {  |  }  <. ,  >.  { }  {  |  }
6 an12 495 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  { }  {  |  } 
{ }  <. ,  >.  {  |  }
7 elsn 3382 . . . . . . . . . . . . . 14  { }
87anbi1i 431 . . . . . . . . . . . . 13  { } 
<. ,  >.  {  |  }  <. ,  >.  {  |  }
96, 8bitri 173 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  { }  {  |  }  <. ,  >.  {  |  }
109exbii 1493 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  { }  {  |  }  <. ,  >.  {  |  }
11 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
12 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. ,  >.
1312eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  <. ,  >.
1413anbi1d 438 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  {  |  }  <. ,  >.  {  |  }
1511, 14ceqsexv 2587 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  {  |  }  <. ,  >.  {  |  }
1610, 15bitri 173 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  { }  {  |  } 
<. ,  >.  {  |  }
1716exbii 1493 . . . . . . . . 9  <. ,  >. 
{ }  {  |  }  <. ,  >.  {  |  }
185, 17bitri 173 . . . . . . . 8  <. ,  >. 
{ }  {  |  }  <. ,  >.  {  |  }
19 nfv 1418 . . . . . . . . . 10  F/  <. ,  >.
20 nfsab1 2027 . . . . . . . . . 10  F/  {  |  }
2119, 20nfan 1454 . . . . . . . . 9  F/  <. ,  >.  {  |  }
22 nfv 1418 . . . . . . . . 9  F/  <. ,  >.
23 opeq2 3541 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  <. ,  >.
2423eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.
25 sbequ12 1651 . . . . . . . . . . . 12
2625equcoms 1591 . . . . . . . . . . 11
27 df-clab 2024 . . . . . . . . . . 11  {  |  }
2826, 27syl6rbbr 188 . . . . . . . . . 10  {  |  }
2924, 28anbi12d 442 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  {  |  }  <. , 
>.
3021, 22, 29cbvex 1636 . . . . . . . 8  <. ,  >.  {  |  }  <. ,  >.
314, 18, 303bitri 195 . . . . . . 7  { }  X.  {  |  }  <. ,  >.
3231anbi2i 430 . . . . . 6  { }  X.  {  |  }  <. ,  >.
331, 3, 323bitr4ri 202 . . . . 5  { }  X.  {  |  }  <. ,  >.
3433exbii 1493 . . . 4  { }  X.  {  |  }  <. ,  >.
35 eliun 3652 . . . . 5  U_  { }  X.  {  |  }  { }  X.  {  |  }
36 df-rex 2306 . . . . 5  { }  X.  {  |  }  { }  X.  {  |  }
3735, 36bitri 173 . . . 4  U_  { }  X.  {  |  }  { }  X.  {  |  }
38 elopab 3986 . . . 4  { <. ,  >.  |  } 
<. ,  >.
3934, 37, 383bitr4i 201 . . 3  U_  { }  X.  {  |  } 
{ <. , 
>.  |  }
4039eqriv 2034 . 2  U_  { }  X.  {  |  }  { <. , 
>.  |  }
41 opabex3d.1 . . 3  _V
42 snexg 3927 . . . . . 6  _V  { }  _V
4311, 42ax-mp 7 . . . . 5  { }  _V
44 opabex3d.2 . . . . 5  {  |  }  _V
45 xpexg 4395 . . . . 5  { }  _V  {  |  }  _V  { }  X.  {  |  } 
_V
4643, 44, 45sylancr 393 . . . 4  { }  X.  {  |  } 
_V
4746ralrimiva 2386 . . 3  { }  X.  {  |  }  _V
48 iunexg 5688 . . 3  _V  { }  X.  {  |  }  _V  U_  { }  X.  {  |  } 
_V
4941, 47, 48syl2anc 391 . 2  U_  { }  X.  {  |  }  _V
5040, 49syl5eqelr 2122 1  { <. , 
>.  |  }  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wsb 1642   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551   {csn 3367   <.cop 3370   U_ciun 3648   {copab 3808    X. cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator