Theorem opabex3d 5690

Description: Existence of an ordered pair abstraction, deduction version. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex3d.1	|- (ph -> A e. _V)
opabex3d.2	|- ((ph /\ x e. A) -> {y | ps } e. _V)

Assertion

Ref	Expression
opabex3d	|- (ph -> { <.x , y >. | (x e. A /\ ps) } e. _V)

Distinct variable groups:   x,A,y   ph,x

Allowed substitution hints:   ph(y)   ps(x,y)

Proof of Theorem opabex3d

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42v 1783	. . . . . 6 |- (E.y(x e. A /\ (z = <.x , y >. /\ ps)) <-> (x e. A /\ E.y(z = <.x , y >. /\ ps)))
2		an12 495	. . . . . . 7 |- ((z = <.x , y >. /\ (x e. A /\ ps)) <-> (x e. A /\ (z = <.x , y >. /\ ps)))
3	2	exbii 1493	. . . . . 6 |- (E.y(z = <.x , y >. /\ (x e. A /\ ps)) <-> E.y(x e. A /\ (z = <.x , y >. /\ ps)))
4		elxp 4305	. . . . . . . 8 |- (z e. ( {x } X. {y | ps }) <-> E.vE.w(z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })))
5		excom 1551	. . . . . . . . 9 |- (E.vE.w(z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })) <-> E.wE.v(z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })))
6		an12 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })) <-> (v e. {x } /\ (z = <.v , w >. /\ w e. {y | ps })))
7		elsn 3382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. {x } <-> v = x)
8	7	anbi1i 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((v e. {x } /\ (z = <.v , w >. /\ w e. {y | ps })) <-> (v = x /\ (z = <.v , w >. /\ w e. {y | ps })))
9	6, 8	bitri 173	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })) <-> (v = x /\ (z = <.v , w >. /\ w e. {y | ps })))
10	9	exbii 1493	. . . . . . . . . . 11 |- (E.v(z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })) <-> E.v(v = x /\ (z = <.v , w >. /\ w e. {y | ps })))
11		vex 2554	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
12		opeq1 3540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = x -> <.v , w >. = <.x , w >.)
13	12	eqeq2d 2048	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = x -> (z = <.v , w >. <-> z = <.x , w >.))
14	13	anbi1d 438	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = x -> ((z = <.v , w >. /\ w e. {y | ps }) <-> (z = <.x , w >. /\ w e. {y | ps })))
15	11, 14	ceqsexv 2587	. . . . . . . . . . 11 |- (E.v(v = x /\ (z = <.v , w >. /\ w e. {y | ps })) <-> (z = <.x , w >. /\ w e. {y | ps }))
16	10, 15	bitri 173	. . . . . . . . . 10 |- (E.v(z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })) <-> (z = <.x , w >. /\ w e. {y | ps }))
17	16	exbii 1493	. . . . . . . . 9 |- (E.wE.v(z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })) <-> E.w(z = <.x , w >. /\ w e. {y | ps }))
18	5, 17	bitri 173	. . . . . . . 8 |- (E.vE.w(z = <.v , w >. /\ (v e. {x } /\ w e. {y | ps })) <-> E.w(z = <.x , w >. /\ w e. {y | ps }))
19		nfv 1418	. . . . . . . . . 10 |- F/y z = <.x , w >.
20		nfsab1 2027	. . . . . . . . . 10 |- F/y w e. {y | ps }
21	19, 20	nfan 1454	. . . . . . . . 9 |- F/y(z = <.x , w >. /\ w e. {y | ps })
22		nfv 1418	. . . . . . . . 9 |- F/w(z = <.x , y >. /\ ps)
23		opeq2 3541	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> <.x , w >. = <.x , y >.)
24	23	eqeq2d 2048	. . . . . . . . . 10 |- (w = y -> (z = <.x , w >. <-> z = <.x , y >.))
25		sbequ12 1651	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = w -> (ps <-> [w / y]ps))
26	25	equcoms 1591	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> (ps <-> [w / y]ps))
27		df-clab 2024	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. {y | ps } <-> [w / y]ps)
28	26, 27	syl6rbbr 188	. . . . . . . . . 10 |- (w = y -> (w e. {y | ps } <-> ps))
29	24, 28	anbi12d 442	. . . . . . . . 9 |- (w = y -> ((z = <.x , w >. /\ w e. {y | ps }) <-> (z = <.x , y >. /\ ps)))
30	21, 22, 29	cbvex 1636	. . . . . . . 8 |- (E.w(z = <.x , w >. /\ w e. {y | ps }) <-> E.y(z = <.x , y >. /\ ps))
31	4, 18, 30	3bitri 195	. . . . . . 7 |- (z e. ( {x } X. {y | ps }) <-> E.y(z = <.x , y >. /\ ps))
32	31	anbi2i 430	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ z e. ( {x } X. {y | ps })) <-> (x e. A /\ E.y(z = <.x , y >. /\ ps)))
33	1, 3, 32	3bitr4ri 202	. . . . 5 |- ((x e. A /\ z e. ( {x } X. {y | ps })) <-> E.y(z = <.x , y >. /\ (x e. A /\ ps)))
34	33	exbii 1493	. . . 4 |- (E.x(x e. A /\ z e. ( {x } X. {y | ps })) <-> E.xE.y(z = <.x , y >. /\ (x e. A /\ ps)))
35		eliun 3652	. . . . 5 |- (z e. U_x e. A ( {x } X. {y | ps }) <-> E.x e. A z e. ( {x } X. {y | ps }))
36		df-rex 2306	. . . . 5 |- (E.x e. A z e. ( {x } X. {y | ps }) <-> E.x(x e. A /\ z e. ( {x } X. {y | ps })))
37	35, 36	bitri 173	. . . 4 |- (z e. U_x e. A ( {x } X. {y | ps }) <-> E.x(x e. A /\ z e. ( {x } X. {y | ps })))
38		elopab 3986	. . . 4 |- (z e. { <.x , y >. | (x e. A /\ ps) } <-> E.xE.y(z = <.x , y >. /\ (x e. A /\ ps)))
39	34, 37, 38	3bitr4i 201	. . 3 |- (z e. U_x e. A ( {x } X. {y | ps }) <-> z e. { <.x , y >. | (x e. A /\ ps) })
40	39	eqriv 2034	. 2 |- U_x e. A ( {x } X. {y | ps }) = { <.x , y >. | (x e. A /\ ps) }
41		opabex3d.1	. . 3 |- (ph -> A e. _V)
42		snexg 3927	. . . . . 6 |- (x e. _V -> {x } e. _V)
43	11, 42	ax-mp 7	. . . . 5 |- {x } e. _V
44		opabex3d.2	. . . . 5 |- ((ph /\ x e. A) -> {y | ps } e. _V)
45		xpexg 4395	. . . . 5 |- (( {x } e. _V /\ {y | ps } e. _V) -> ( {x } X. {y | ps }) e. _V)
46	43, 44, 45	sylancr 393	. . . 4 |- ((ph /\ x e. A) -> ( {x } X. {y | ps }) e. _V)
47	46	ralrimiva 2386	. . 3 |- (ph -> A.x e. A ( {x } X. {y | ps }) e. _V)
48		iunexg 5688	. . 3 |- ((A e. _V /\ A.x e. A ( {x } X. {y | ps }) e. _V) -> U_x e. A ( {x } X. {y | ps }) e. _V)
49	41, 47, 48	syl2anc 391	. 2 |- (ph -> U_x e. A ( {x } X. {y | ps }) e. _V)
50	40, 49	syl5eqelr 2122	1 |- (ph -> { <.x , y >. | (x e. A /\ ps) } e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390  [wsb 1642   {cab 2023  A.wral 2300  E.wrex 2301   _Vcvv 2551   {csn 3367   <.cop 3370   U_ciun 3648   {copab 3808   X. cxp 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)