Theorem ovshftex 9420

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	|- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 9419	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
2	1	ancoms 255	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3		cnex 7005	. . . 4 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> CC e. _V )
5		rnexg 4597	. . . . 5 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
6	5	ad2antrr 457	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> ran F e. _V )
7		vex 2560	. . . . . . . 8 |- u e. _V
8		breq2 3768	. . . . . . . 8 |- ( w = u -> ( ( z - A ) F w <-> ( z - A ) F u ) )
9	7, 8	elab 2687	. . . . . . 7 |- ( u e. { w | ( z - A ) F w } <-> ( z - A ) F u )
10		simpr 103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
11		simpl 102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> A e. CC )
12	10, 11	subcld 7322	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - A ) e. CC )
13		brelrng 4565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ u e. _V /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
14	7, 13	mp3an2 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
15	12, 14	sylan 267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ z e. CC ) /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
16	15	ex 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( z - A ) F u -> u e. ran F ) )
17	9, 16	syl5bi 141	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( u e. { w | ( z - A ) F w } -> u e. ran F ) )
18	17	ssrdv 2951	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
19	18	adantll 445	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
20	6, 19	ssexd 3897	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } e. _V )
21	4, 20	opabex3d 5748	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2114	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   class class class wbr 3764   {copab 3817   ran crn 4346  (class class class)co 5512   CCcc 6887   - cmin 7182   shift cshi 9415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-shft 9416

This theorem is referenced by:  2shfti  9432  climshftlemg  9823  climshft  9825  climshft2  9827