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Theorem 2shfti 9432
Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
2shfti  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A )  shift  B )  =  ( F  shift  ( A  +  B ) ) )

Proof of Theorem 2shfti
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . . . . . 9  |-  F  e. 
_V
21shftfval 9422 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( F  shift  A )  =  { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A ) F w ) } )
32breqd 3775 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  -  B
) ( F  shift  A ) y  <->  ( x  -  B ) { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } y ) )
43ad2antrr 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  B ) ( F  shift  A )
y  <->  ( x  -  B ) { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } y ) )
5 simpr 103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
6 simplr 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
75, 6subcld 7322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  -  B )  e.  CC )
8 vex 2560 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
9 eleq1 2100 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  -  B )  ->  (
z  e.  CC  <->  ( x  -  B )  e.  CC ) )
10 oveq1 5519 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  -  B )  ->  (
z  -  A )  =  ( ( x  -  B )  -  A ) )
1110breq1d 3774 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  -  B )  ->  (
( z  -  A
) F w  <->  ( (
x  -  B )  -  A ) F w ) )
129, 11anbi12d 442 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  -  B )  ->  (
( z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w )  <-> 
( ( x  -  B )  e.  CC  /\  ( ( x  -  B )  -  A
) F w ) ) )
13 breq2 3768 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( x  -  B )  -  A
) F w  <->  ( (
x  -  B )  -  A ) F y ) )
1413anbi2d 437 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( x  -  B )  e.  CC  /\  ( ( x  -  B )  -  A
) F w )  <-> 
( ( x  -  B )  e.  CC  /\  ( ( x  -  B )  -  A
) F y ) ) )
15 eqid 2040 . . . . . . . 8  |-  { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) }  =  { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) }
1612, 14, 15brabg 4006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  -  B
)  e.  CC  /\  y  e.  _V )  ->  ( ( x  -  B ) { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } y  <->  ( (
x  -  B )  e.  CC  /\  (
( x  -  B
)  -  A ) F y ) ) )
177, 8, 16sylancl 392 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  B ) {
<. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } y  <->  ( (
x  -  B )  e.  CC  /\  (
( x  -  B
)  -  A ) F y ) ) )
184, 17bitrd 177 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  B ) ( F  shift  A )
y  <->  ( ( x  -  B )  e.  CC  /\  ( ( x  -  B )  -  A ) F y ) ) )
19 subcl 7210 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  -  B
)  e.  CC )
2019biantrurd 289 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( x  -  B )  -  A ) F y  <-> 
( ( x  -  B )  e.  CC  /\  ( ( x  -  B )  -  A
) F y ) ) )
2120ancoms 255 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( x  -  B )  -  A ) F y  <-> 
( ( x  -  B )  e.  CC  /\  ( ( x  -  B )  -  A
) F y ) ) )
2221adantll 445 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( x  -  B )  -  A ) F y  <->  ( ( x  -  B )  e.  CC  /\  ( ( x  -  B )  -  A ) F y ) ) )
23 sub32 7245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( x  -  A
)  -  B )  =  ( ( x  -  B )  -  A ) )
24 subsub4 7244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( x  -  A
)  -  B )  =  ( x  -  ( A  +  B
) ) )
2523, 24eqtr3d 2074 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( x  -  B
)  -  A )  =  ( x  -  ( A  +  B
) ) )
26253expb 1105 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  ->  ( (
x  -  B )  -  A )  =  ( x  -  ( A  +  B )
) )
2726ancoms 255 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  B )  -  A )  =  ( x  -  ( A  +  B ) ) )
2827breq1d 3774 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( x  -  B )  -  A ) F y  <->  ( x  -  ( A  +  B
) ) F y ) )
2918, 22, 283bitr2d 205 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  B ) ( F  shift  A )
y  <->  ( x  -  ( A  +  B
) ) F y ) )
3029pm5.32da 425 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  B ) ( F  shift  A )
y )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  ( A  +  B ) ) F y ) ) )
3130opabbidv 3823 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  B ) ( F  shift  A )
y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  ( A  +  B ) ) F y ) } )
32 ovshftex 9420 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  e.  _V )
331, 32mpan 400 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( F  shift  A )  e. 
_V )
34 shftfvalg 9419 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( F  shift  A )  e.  _V )  -> 
( ( F  shift  A )  shift  B )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  B ) ( F  shift  A )
y ) } )
3533, 34sylan2 270 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A )  shift  B )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  B ) ( F  shift  A )
y ) } )
3635ancoms 255 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A )  shift  B )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  B ) ( F  shift  A )
y ) } )
37 addcl 7006 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
381shftfval 9422 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( F  shift  ( A  +  B ) )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  ( A  +  B ) ) F y ) } )
3937, 38syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( F  shift  ( A  +  B ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  ( A  +  B )
) F y ) } )
4031, 36, 393eqtr4d 2082 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A )  shift  B )  =  ( F  shift  ( A  +  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   _Vcvv 2557   class class class wbr 3764   {copab 3817  (class class class)co 5512   CCcc 6887    + caddc 6892    - cmin 7182    shift cshi 9415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-shft 9416
This theorem is referenced by:  shftcan1  9435
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