ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oa1suc Structured version   GIF version

Theorem oa1suc 5962
Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
oa1suc (A On → (A +𝑜 1𝑜) = suc A)

Proof of Theorem oa1suc
StepHypRef Expression
1 df-1o 5916 . . . 4 1𝑜 = suc ∅
21oveq2i 5447 . . 3 (A +𝑜 1𝑜) = (A +𝑜 suc ∅)
3 peano1 4244 . . . 4 𝜔
4 onasuc 5961 . . . 4 ((A On 𝜔) → (A +𝑜 suc ∅) = suc (A +𝑜 ∅))
53, 4mpan2 403 . . 3 (A On → (A +𝑜 suc ∅) = suc (A +𝑜 ∅))
62, 5syl5eq 2066 . 2 (A On → (A +𝑜 1𝑜) = suc (A +𝑜 ∅))
7 oa0 5952 . . 3 (A On → (A +𝑜 ∅) = A)
8 suceq 4088 . . 3 ((A +𝑜 ∅) = A → suc (A +𝑜 ∅) = suc A)
97, 8syl 14 . 2 (A On → suc (A +𝑜 ∅) = suc A)
106, 9eqtrd 2054 1 (A On → (A +𝑜 1𝑜) = suc A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1228   wcel 1374  c0 3201  Oncon0 4049  suc csuc 4051  𝜔com 4240  (class class class)co 5436  1𝑜c1o 5909   +𝑜 coa 5913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920
This theorem is referenced by:  o1p1e2  5963  nnaordex  6011  prarloclemlo  6348
  Copyright terms: Public domain W3C validator