ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numsucc Structured version   GIF version

Theorem numsucc 8129
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numsucc.1 𝑌 0
numsucc.2 𝑇 = (𝑌 + 1)
numsucc.3 A 0
numsucc.4 (A + 1) = B
numsucc.5 𝑁 = ((𝑇 · A) + 𝑌)
Assertion
Ref Expression
numsucc (𝑁 + 1) = ((𝑇 · B) + 0)

Proof of Theorem numsucc
StepHypRef Expression
1 numsucc.2 . . . . . . 7 𝑇 = (𝑌 + 1)
2 numsucc.1 . . . . . . . 8 𝑌 0
3 1nn0 7933 . . . . . . . 8 1 0
42, 3nn0addcli 7955 . . . . . . 7 (𝑌 + 1) 0
51, 4eqeltri 2107 . . . . . 6 𝑇 0
65nn0cni 7929 . . . . 5 𝑇
76mulid1i 6787 . . . 4 (𝑇 · 1) = 𝑇
87oveq2i 5466 . . 3 ((𝑇 · A) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · A) + 𝑇)
9 numsucc.3 . . . . 5 A 0
109nn0cni 7929 . . . 4 A
11 ax-1cn 6736 . . . 4 1
126, 10, 11adddii 6795 . . 3 (𝑇 · (A + 1)) = ((𝑇 · A) + (𝑇 · 1))
131eqcomi 2041 . . . 4 (𝑌 + 1) = 𝑇
14 numsucc.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · A) + 𝑌)
155, 9, 2, 13, 14numsuc 8115 . . 3 (𝑁 + 1) = ((𝑇 · A) + 𝑇)
168, 12, 153eqtr4ri 2068 . 2 (𝑁 + 1) = (𝑇 · (A + 1))
17 numsucc.4 . . 3 (A + 1) = B
1817oveq2i 5466 . 2 (𝑇 · (A + 1)) = (𝑇 · B)
199, 3nn0addcli 7955 . . . 4 (A + 1) 0
2017, 19eqeltrri 2108 . . 3 B 0
215, 20num0u 8112 . 2 (𝑇 · B) = ((𝑇 · B) + 0)
2216, 18, 213eqtri 2061 1 (𝑁 + 1) = ((𝑇 · B) + 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676  0cn0 7917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-inn 7656  df-n0 7918
This theorem is referenced by:  decsucc  8130
  Copyright terms: Public domain W3C validator