ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnidpig Structured version   GIF version

Theorem addnidpig 6196
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
addnidpig ((A N B N) → ¬ (A +N B) = A)

Proof of Theorem addnidpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6169 . . 3 (A NA 𝜔)
2 elni2 6174 . . . 4 (B N ↔ (B 𝜔 B))
3 nnaordi 5992 . . . . . . 7 ((B 𝜔 A 𝜔) → (∅ B → (A +𝑜 ∅) (A +𝑜 B)))
4 nna0 5968 . . . . . . . . . 10 (A 𝜔 → (A +𝑜 ∅) = A)
54eleq1d 2088 . . . . . . . . 9 (A 𝜔 → ((A +𝑜 ∅) (A +𝑜 B) ↔ A (A +𝑜 B)))
6 nnord 4261 . . . . . . . . . . . 12 (A 𝜔 → Ord A)
7 ordirr 4209 . . . . . . . . . . . 12 (Ord A → ¬ A A)
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11 (A 𝜔 → ¬ A A)
9 eleq2 2083 . . . . . . . . . . . 12 ((A +𝑜 B) = A → (A (A +𝑜 B) ↔ A A))
109notbid 579 . . . . . . . . . . 11 ((A +𝑜 B) = A → (¬ A (A +𝑜 B) ↔ ¬ A A))
118, 10syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . 10 (A 𝜔 → ((A +𝑜 B) = A → ¬ A (A +𝑜 B)))
1211con2d 542 . . . . . . . . 9 (A 𝜔 → (A (A +𝑜 B) → ¬ (A +𝑜 B) = A))
135, 12sylbid 139 . . . . . . . 8 (A 𝜔 → ((A +𝑜 ∅) (A +𝑜 B) → ¬ (A +𝑜 B) = A))
1413adantl 262 . . . . . . 7 ((B 𝜔 A 𝜔) → ((A +𝑜 ∅) (A +𝑜 B) → ¬ (A +𝑜 B) = A))
153, 14syld 40 . . . . . 6 ((B 𝜔 A 𝜔) → (∅ B → ¬ (A +𝑜 B) = A))
1615expcom 109 . . . . 5 (A 𝜔 → (B 𝜔 → (∅ B → ¬ (A +𝑜 B) = A)))
1716imp32 244 . . . 4 ((A 𝜔 (B 𝜔 B)) → ¬ (A +𝑜 B) = A)
182, 17sylan2b 271 . . 3 ((A 𝜔 B N) → ¬ (A +𝑜 B) = A)
191, 18sylan 267 . 2 ((A N B N) → ¬ (A +𝑜 B) = A)
20 addpiord 6176 . . 3 ((A N B N) → (A +N B) = (A +𝑜 B))
2120eqeq1d 2030 . 2 ((A N B N) → ((A +N B) = A ↔ (A +𝑜 B) = A))
2219, 21mtbird 585 1 ((A N B N) → ¬ (A +N B) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   = wceq 1228   wcel 1374  c0 3201  Ord word 4048  𝜔com 4240  (class class class)co 5436   +𝑜 coa 5913  Ncnpi 6130   +N cpli 6131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-ni 6164  df-pli 6165
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator