Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanpig GIF version

Theorem mulcanpig 6433
 Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanpig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem mulcanpig
StepHypRef Expression
1 mulpiord 6415 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
21adantr 261 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
3 mulpiord 6415 . . . . . 6 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
43adantlr 446 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
52, 4eqeq12d 2054 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
6 pinn 6407 . . . . . . . . 9 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
7 pinn 6407 . . . . . . . . 9 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
8 pinn 6407 . . . . . . . . 9 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
9 elni2 6412 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
109simprbi 260 . . . . . . . . . . 11 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
11 nnmcan 6092 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
1211biimpd 132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
1310, 12sylan2 270 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ 𝐴N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
1413ex 108 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
156, 7, 8, 14syl3an 1177 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
16153exp 1103 . . . . . . 7 (𝐴N → (𝐵N → (𝐶N → (𝐴N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))))
1716com4r 80 . . . . . 6 (𝐴N → (𝐴N → (𝐵N → (𝐶N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))))
1817pm2.43i 43 . . . . 5 (𝐴N → (𝐵N → (𝐶N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
1918imp31 243 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
205, 19sylbid 139 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21203impa 1099 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
22 oveq2 5520 . 2 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶))
2321, 22impbid1 130 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∅c0 3224  ωcom 4313  (class class class)co 5512   ·𝑜 comu 5999  Ncnpi 6370   ·N cmi 6372 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-mi 6404 This theorem is referenced by:  enqer  6456
 Copyright terms: Public domain W3C validator