Theorem 6p5lem 8416

Description: Lemma for 6p5e11 8417 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
6p5lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6p5lem.2	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6p5lem.3	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
6p5lem.4	⊢ 𝐵 = (𝐷 + 1)
6p5lem.5	⊢ 𝐶 = (𝐸 + 1)
6p5lem.6	⊢ (𝐴 + 𝐷) = ;1𝐸

Assertion

Ref	Expression
6p5lem	⊢ (𝐴 + 𝐵) = ;1𝐶

Proof of Theorem 6p5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5lem.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐷 + 1)
2	1	oveq2i 5523	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
3		6p5lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 8193	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		6p5lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 8193	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
7		ax-1cn 6977	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	addassi 7035	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) + 1) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
9		1nn0 8197	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		6p5lem.3	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
11		6p5lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐸 + 1)
12	11	eqcomi 2044	. . 3 ⊢ (𝐸 + 1) = 𝐶
13		6p5lem.6	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐷) = ;1𝐸
14	9, 10, 12, 13	decsuc 8390	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) + 1) = ;1𝐶
15	2, 8, 14	3eqtr2i 2066	1 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = ;1𝐶

Syntax hints:   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512  1c1 6890   + caddc 6892  ℕ₀cn0 8181  ;cdc 8368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-5 7976  df-6 7977  df-7 7978  df-8 7979  df-9 7980  df-10 7981  df-n0 8182  df-dec 8369

This theorem is referenced by:  6p5e11  8417  6p6e12  8418  7p4e11  8419  7p5e12  8420  7p6e13  8421  7p7e14  8422  8p3e11  8423  8p4e12  8424  8p5e13  8425  8p6e14  8426  8p7e15  8427  8p8e16  8428  9p2e11  8429  9p3e12  8430  9p4e13  8431  9p5e14  8432  9p6e15  8433  9p7e16  8434  9p8e17  8435  9p9e18  8436