ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6p5lem Structured version   GIF version

Theorem 6p5lem 8152
Description: Lemma for 6p5e11 8153 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
6p5lem.1 A 0
6p5lem.2 𝐷 0
6p5lem.3 𝐸 0
6p5lem.4 B = (𝐷 + 1)
6p5lem.5 𝐶 = (𝐸 + 1)
6p5lem.6 (A + 𝐷) = 1𝐸
Assertion
Ref Expression
6p5lem (A + B) = 1𝐶

Proof of Theorem 6p5lem
StepHypRef Expression
1 6p5lem.4 . . 3 B = (𝐷 + 1)
21oveq2i 5466 . 2 (A + B) = (A + (𝐷 + 1))
3 6p5lem.1 . . . 4 A 0
43nn0cni 7929 . . 3 A
5 6p5lem.2 . . . 4 𝐷 0
65nn0cni 7929 . . 3 𝐷
7 ax-1cn 6736 . . 3 1
84, 6, 7addassi 6793 . 2 ((A + 𝐷) + 1) = (A + (𝐷 + 1))
9 1nn0 7933 . . 3 1 0
10 6p5lem.3 . . 3 𝐸 0
11 6p5lem.5 . . . 4 𝐶 = (𝐸 + 1)
1211eqcomi 2041 . . 3 (𝐸 + 1) = 𝐶
13 6p5lem.6 . . 3 (A + 𝐷) = 1𝐸
149, 10, 12, 13decsuc 8126 . 2 ((A + 𝐷) + 1) = 1𝐶
152, 8, 143eqtr2i 2063 1 (A + B) = 1𝐶
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  1c1 6672   + caddc 6674  0cn0 7917  cdc 8104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-inn 7656  df-2 7713  df-3 7714  df-4 7715  df-5 7716  df-6 7717  df-7 7718  df-8 7719  df-9 7720  df-10 7721  df-n0 7918  df-dec 8105
This theorem is referenced by:  6p5e11  8153  6p6e12  8154  7p4e11  8155  7p5e12  8156  7p6e13  8157  7p7e14  8158  8p3e11  8159  8p4e12  8160  8p5e13  8161  8p6e14  8162  8p7e15  8163  8p8e16  8164  9p2e11  8165  9p3e12  8166  9p4e13  8167  9p5e14  8168  9p6e15  8169  9p7e16  8170  9p8e17  8171  9p9e18  8172
  Copyright terms: Public domain W3C validator