ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relop Unicode version

Theorem relop 4429
Description: A necessary and sufficient condition for a Kuratowski ordered pair to be a relation. (Contributed by NM, 3-Jun-2008.) (Avoid depending on this detail.)
Hypotheses
Ref Expression
relop.1  _V
relop.2  _V
Assertion
Ref Expression
relop  Rel 
<. ,  >.  { }  { ,  }
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem relop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rel 4295 . 2  Rel 
<. ,  >.  <. ,  >.  C_  _V  X.  _V
2 dfss2 2928 . . . . 5  <. ,  >.  C_  _V  X.  _V  <. ,  >.  _V  X.  _V
3 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
4 relop.1 . . . . . . . . . 10  _V
5 relop.2 . . . . . . . . . 10  _V
63, 4, 5elop 3959 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  { }  { ,  }
7 elvv 4345 . . . . . . . . 9  _V  X.  _V  <. ,  >.
86, 7imbi12i 228 . . . . . . . 8  <. ,  >.  _V  X.  _V  { }  { ,  }  <. , 
>.
9 jaob 630 . . . . . . . 8  { }  { ,  }  <. ,  >.  { }  <. , 
>.  { ,  } 
<. ,  >.
108, 9bitri 173 . . . . . . 7  <. ,  >.  _V  X.  _V  { }  <. , 
>.  { ,  } 
<. ,  >.
1110albii 1356 . . . . . 6  <. ,  >.  _V  X.  _V  { }  <. ,  >.  { ,  }  <. ,  >.
12 19.26 1367 . . . . . 6  { }  <. , 
>.  { ,  } 
<. ,  >.  { }  <. ,  >.  { ,  }  <. ,  >.
1311, 12bitri 173 . . . . 5  <. ,  >.  _V  X.  _V  { }  <. ,  >.  { ,  }  <. ,  >.
142, 13bitri 173 . . . 4  <. ,  >.  C_  _V  X.  _V  { }  <. ,  >.  { ,  }  <. ,  >.
15 snexgOLD 3926 . . . . . . . 8  _V  { }  _V
164, 15ax-mp 7 . . . . . . 7  { }  _V
17 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  { }  { }  { }  { }
18 eqeq1 2043 . . . . . . . . . 10  { }  <. ,  >.  { }  <. ,  >.
19 eqcom 2039 . . . . . . . . . . 11  { }  <. ,  >.  <. ,  >.  { }
20 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
21 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
2220, 21, 4opeqsn 3980 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  { }  { }
2319, 22bitri 173 . . . . . . . . . 10  { }  <. ,  >.  { }
2418, 23syl6bb 185 . . . . . . . . 9  { }  <. ,  >.  { }
25242exbidv 1745 . . . . . . . 8  { }  <. ,  >.  { }
2617, 25imbi12d 223 . . . . . . 7  { }  { }  <. , 
>.  { }  { }  { }
2716, 26spcv 2640 . . . . . 6  { }  <. ,  >.  { }  { }  { }
28 sneq 3378 . . . . . . . . 9  { }  { }
2928eqeq2d 2048 . . . . . . . 8  { }  { }
3029cbvexv 1792 . . . . . . 7  { }  { }
31 a9ev 1584 . . . . . . . . . 10
32 equcom 1590 . . . . . . . . . . 11
3332exbii 1493 . . . . . . . . . 10
3431, 33mpbi 133 . . . . . . . . 9
35 19.41v 1779 . . . . . . . . 9  { }  { }
3634, 35mpbiran 846 . . . . . . . 8  { }  { }
3736exbii 1493 . . . . . . 7  { }  { }
38 eqid 2037 . . . . . . . 8  { }  { }
3938a1bi 232 . . . . . . 7  { }  { }  { }  { }
4030, 37, 393bitr2ri 198 . . . . . 6  { }  { }  { }  { }
4127, 40sylib 127 . . . . 5  { }  <. ,  >.  { }
42 eqid 2037 . . . . . 6  { ,  }  { ,  }
43 prexgOLD 3937 . . . . . . . 8  _V  _V  { ,  }  _V
444, 5, 43mp2an 402 . . . . . . 7  { ,  }  _V
45 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  { ,  }  { ,  }  { ,  }  { ,  }
46 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9  { ,  }  <. ,  >.  { ,  }  <. ,  >.
47462exbidv 1745 . . . . . . . 8  { ,  }  <. , 
>.  { ,  }  <. , 
>.
4845, 47imbi12d 223 . . . . . . 7  { ,  }  { ,  }  <. ,  >.  { ,  }  { ,  }  { ,  }  <. ,  >.
4944, 48spcv 2640 . . . . . 6  { ,  }  <. ,  >.  { ,  }  { ,  }  { ,  }  <. ,  >.
5042, 49mpi 15 . . . . 5  { ,  }  <. ,  >.  { ,  }  <. ,  >.
51 eqcom 2039 . . . . . . . . . 10  { ,  }  <. , 
>. 
<. ,  >.  { ,  }
5220, 21, 4, 5opeqpr 3981 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  { ,  }  { }  { ,  }  { ,  }  { }
5351, 52bitri 173 . . . . . . . . 9  { ,  }  <. , 
>.  { }  { ,  }  { ,  }  { }
54 idd 21 . . . . . . . . . 10  { }  { }  { ,  }  { }  { ,  }
55 eqtr2 2055 . . . . . . . . . . . . . 14  { ,  }  { }  { ,  }  { }
56 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
_V
5720, 21, 56preqsn 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15  { ,  }  { }
5857simplbi 259 . . . . . . . . . . . . . 14  { ,  }  { }
5955, 58syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  { ,  }  { }
60 dfsn2 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  { }  { ,  }
61 preq2 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  { ,  }  { ,  }
6260, 61syl5req 2082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  { ,  }  { }
6362eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  { ,  }  { }
6460, 61syl5eq 2081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  { }  { ,  }
6564eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  { }  { ,  }
6663, 65anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  { ,  }  { }  { }  { ,  }
6766biimpd 132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  { ,  }  { }  { }  { ,  }
6867expd 245 . . . . . . . . . . . . . . 15  { ,  }  { }  { }  { ,  }
6968com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14  { ,  }  { }  { }  { ,  }
7069adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  { ,  }  { }  { }  { }  { ,  }
7159, 70mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  { ,  }  { }  { }  { }  { ,  }
7271expcom 109 . . . . . . . . . . 11  { }  { ,  }  { }  { }  { ,  }
7372impd 242 . . . . . . . . . 10  { }  { ,  }  { }  { }  { ,  }
7454, 73jaod 636 . . . . . . . . 9  { }  { }  { ,  }  { ,  }  { }  { }  { ,  }
7553, 74syl5bi 141 . . . . . . . 8  { }  { ,  }  <. ,  >.  { }  { ,  }
76752eximdv 1759 . . . . . . 7  { }  { ,  }  <. ,  >.  { }  { ,  }
7776exlimiv 1486 . . . . . 6  { }  { ,  }  <. , 
>.  { }  { ,  }
7877imp 115 . . . . 5  { }  { ,  }  <. ,  >.  { }  { ,  }
7941, 50, 78syl2an 273 . . . 4  { }  <. , 
>.  { ,  }  <. ,  >.  { }  { ,  }
8014, 79sylbi 114 . . 3  <. ,  >.  C_  _V  X.  _V  { }  { ,  }
81 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  { }  { }  { }
82 equid 1586 . . . . . . . . . . . . . 14
8382jctl 297 . . . . . . . . . . . . 13  { }  { }
8420, 20, 4opeqsn 3980 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  { }  { }
8583, 84sylibr 137 . . . . . . . . . . . 12  { }  <. ,  >.  { }
8685adantr 261 . . . . . . . . . . 11  { }  { }  <. ,  >.  { }
8781, 86eqtr4d 2072 . . . . . . . . . 10  { }  { }  <. ,  >.
88 opeq12 3542 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  <. ,  >.
8988eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >. 
<. ,  >.
9020, 20, 89spc2ev 2642 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.
9187, 90syl 14 . . . . . . . . 9  { }  { } 
<. ,  >.
9291adantlr 446 . . . . . . . 8  { }  { ,  }  { } 
<. ,  >.
93 preq12 3440 . . . . . . . . . . . 12  { }  { ,  }  { ,  }  { { } ,  { ,  } }
9493eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11  { }  { ,  }  { ,  }  { { } ,  { ,  } }
9594biimpa 280 . . . . . . . . . 10  { }  { ,  }  { ,  }  { { } ,  { ,  } }
9620, 21dfop 3539 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  { { } ,  { ,  } }
9795, 96syl6eqr 2087 . . . . . . . . 9  { }  { ,  }  { ,  }  <. ,  >.
98 opeq12 3542 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  <. ,  >.
9998eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10  <. ,  >. 
<. ,  >.
10020, 21, 99spc2ev 2642 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  <. ,  >.
10197, 100syl 14 . . . . . . . 8  { }  { ,  }  { ,  }  <. ,  >.
10292, 101jaodan 709 . . . . . . 7  { }  { ,  }  { }  { ,  }  <. ,  >.
103102ex 108 . . . . . 6  { }  { ,  }  { }  { ,  }  <. ,  >.
104 elvv 4345 . . . . . 6  _V  X.  _V  <. ,  >.
105103, 6, 1043imtr4g 194 . . . . 5  { }  { ,  } 
<. ,  >.  _V  X.  _V
106105ssrdv 2945 . . . 4  { }  { ,  }  <. ,  >. 
C_  _V  X.  _V
107106exlimivv 1773 . . 3  { }  { ,  }  <. ,  >.  C_  _V  X.  _V
10880, 107impbii 117 . 2  <. ,  >.  C_  _V  X.  _V  { }  { ,  }
1091, 108bitri 173 1  Rel 
<. ,  >.  { }  { ,  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370    X. cxp 4286   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295
This theorem is referenced by:  funopg  4877
  Copyright terms: Public domain W3C validator