ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funopg Unicode version

Theorem funopg 4877
Description: A Kuratowski ordered pair is a function only if its components are equal. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
funopg  V  W  Fun  <. ,  >.

Proof of Theorem funopg
Dummy variables  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 3540 . . . . 5  <. ,  t >.  <. ,  t >.
21funeqd 4866 . . . 4  Fun  <. ,  t
>.  Fun  <. ,  t
>.
3 eqeq1 2043 . . . 4  t  t
42, 3imbi12d 223 . . 3  Fun  <. ,  t
>.  t  Fun  <. ,  t >.  t
5 opeq2 3541 . . . . 5  t  <. ,  t >.  <. ,  >.
65funeqd 4866 . . . 4  t  Fun  <. ,  t
>.  Fun  <. ,  >.
7 eqeq2 2046 . . . 4  t  t
86, 7imbi12d 223 . . 3  t  Fun  <. ,  t
>.  t  Fun  <. ,  >.
9 funrel 4862 . . . . 5  Fun 
<. ,  t >.  Rel  <. ,  t
>.
10 vex 2554 . . . . . 6 
_V
11 vex 2554 . . . . . 6  t 
_V
1210, 11relop 4429 . . . . 5  Rel 
<. ,  t >.  { }  t  { ,  }
139, 12sylib 127 . . . 4  Fun 
<. ,  t >.  { }  t  { ,  }
1410, 11opth 3965 . . . . . . . 8  <. ,  t >.  <. { } ,  { ,  } >.  { }  t  { ,  }
15 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
1615opid 3558 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  { { } }
1716preq1i 3441 . . . . . . . . . 10  { <. ,  >. ,  { { } ,  { ,  } } }  { { { } } ,  { { } ,  { ,  } } }
18 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
1915, 18dfop 3539 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  { { } ,  { ,  } }
2019preq2i 3442 . . . . . . . . . 10  { <. ,  >. ,  <. ,  >. }  { <. ,  >. ,  { { } ,  { ,  } } }
21 snexgOLD 3926 . . . . . . . . . . . 12  _V  { }  _V
2215, 21ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11  { }  _V
23 zfpair2 3936 . . . . . . . . . . 11  { ,  }  _V
2422, 23dfop 3539 . . . . . . . . . 10  <. { } ,  { ,  } >.  { { { } } ,  { { } ,  { ,  } } }
2517, 20, 243eqtr4ri 2068 . . . . . . . . 9  <. { } ,  { ,  } >.  { <. ,  >. , 
<. ,  >. }
2625eqeq2i 2047 . . . . . . . 8  <. ,  t >.  <. { } ,  { ,  } >. 
<. ,  t >.  { <. ,  >. ,  <. , 
>. }
2714, 26bitr3i 175 . . . . . . 7  { }  t  { ,  } 
<. ,  t >.  { <. ,  >. ,  <. , 
>. }
28 dffun4 4856 . . . . . . . . 9  Fun 
<. ,  t >.  Rel  <. ,  t
>. 
<. ,  >. 
<. ,  t >.  <. , 
>.  <. ,  t
>.
2928simprbi 260 . . . . . . . 8  Fun 
<. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.
3015, 15opex 3957 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  _V
3130prid1 3467 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  { <. ,  >. ,  <. ,  >. }
32 eleq2 2098 . . . . . . . . . 10  <. ,  t >.  { <. ,  >. , 
<. ,  >. }  <. ,  >.  <. ,  t
>. 
<. ,  >. 
{ <. ,  >. ,  <. , 
>. }
3331, 32mpbiri 157 . . . . . . . . 9  <. ,  t >.  { <. ,  >. , 
<. ,  >. }  <. ,  >.  <. ,  t
>.
3415, 18opex 3957 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  _V
3534prid2 3468 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  { <. ,  >. ,  <. ,  >. }
36 eleq2 2098 . . . . . . . . . 10  <. ,  t >.  { <. ,  >. , 
<. ,  >. }  <. , 
>.  <. ,  t
>. 
<. ,  >. 
{ <. ,  >. ,  <. , 
>. }
3735, 36mpbiri 157 . . . . . . . . 9  <. ,  t >.  { <. ,  >. , 
<. ,  >. }  <. , 
>.  <. ,  t
>.
3833, 37jca 290 . . . . . . . 8  <. ,  t >.  { <. ,  >. , 
<. ,  >. }  <. ,  >.  <. ,  t
>.  <. , 
>.  <. ,  t
>.
39 opeq12 3542 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. ,  >.
40393adant3 923 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  <. ,  >.
4140eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  t
>. 
<. ,  >. 
<. ,  t >.
42 opeq12 3542 . . . . . . . . . . . . . 14  <. , 
>.  <. ,  >.
43423adant2 922 . . . . . . . . . . . . 13  <. , 
>.  <. ,  >.
4443eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  <. ,  t
>. 
<. ,  >. 
<. ,  t >.
4541, 44anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t
>.  <. , 
>.  <. ,  t
>.
46 eqeq12 2049 . . . . . . . . . . . 12
47463adant1 921 . . . . . . . . . . 11
4845, 47imbi12d 223 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.
4948spc3gv 2639 . . . . . . . . 9  _V  _V  _V  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.  <. ,  >.  <. ,  t >.
5015, 15, 18, 49mp3an 1231 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. ,  t
>.  <. , 
>.  <. ,  t
>.  <. ,  >.  <. ,  t
>.  <. , 
>.  <. ,  t
>.
5129, 38, 50syl2im 34 . . . . . . 7  Fun 
<. ,  t >.  <. ,  t
>.  { <. ,  >. ,  <. ,  >. }
5227, 51syl5bi 141 . . . . . 6  Fun 
<. ,  t >.  { }  t  { ,  }
53 dfsn2 3381 . . . . . . . . . . 11  { }  { ,  }
54 preq2 3439 . . . . . . . . . . 11  { ,  }  { ,  }
5553, 54syl5req 2082 . . . . . . . . . 10  { ,  }  { }
5655eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9 
t  { ,  }  t  { }
57 eqtr3 2056 . . . . . . . . . 10  { }  t  { }  t
5857expcom 109 . . . . . . . . 9  t  { }  { }  t
5956, 58syl6bi 152 . . . . . . . 8 
t  { ,  }  { }  t
6059com13 74 . . . . . . 7  { }  t  { ,  }  t
6160imp 115 . . . . . 6  { }  t  { ,  }  t
6252, 61sylcom 25 . . . . 5  Fun 
<. ,  t >.  { }  t  { ,  }  t
6362exlimdvv 1774 . . . 4  Fun 
<. ,  t >.  { }  t  { ,  }  t
6413, 63mpd 13 . . 3  Fun 
<. ,  t >.  t
654, 8, 64vtocl2g 2611 . 2  V  W  Fun  <. ,  >.
66653impia 1100 1  V  W  Fun  <. ,  >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-fun 4847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator