Theorem funopg 4877

Description: A Kuratowski ordered pair is a function only if its components are equal. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funopg	|- ((A e. V /\ B e. W /\ Fun <.A , B >.) -> A = B)

Proof of Theorem funopg

Dummy variables u t v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3540	. . . . 5 |- (u = A -> <.u , t >. = <.A , t >.)
2	1	funeqd 4866	. . . 4 |- (u = A -> ( Fun <.u , t >. <-> Fun <.A , t >.))
3		eqeq1 2043	. . . 4 |- (u = A -> (u = t <-> A = t))
4	2, 3	imbi12d 223	. . 3 |- (u = A -> (( Fun <.u , t >. -> u = t) <-> ( Fun <.A , t >. -> A = t)))
5		opeq2 3541	. . . . 5 |- ( t = B -> <.A , t >. = <.A , B >.)
6	5	funeqd 4866	. . . 4 |- ( t = B -> ( Fun <.A , t >. <-> Fun <.A , B >.))
7		eqeq2 2046	. . . 4 |- ( t = B -> (A = t <-> A = B))
8	6, 7	imbi12d 223	. . 3 |- ( t = B -> (( Fun <.A , t >. -> A = t) <-> ( Fun <.A , B >. -> A = B)))
9		funrel 4862	. . . . 5 |- ( Fun <.u , t >. -> Rel <.u , t >.)
10		vex 2554	. . . . . 6 |- u e. _V
11		vex 2554	. . . . . 6 |- t e. _V
12	10, 11	relop 4429	. . . . 5 |- ( Rel <.u , t >. <-> E.xE.y(u = {x } /\ t = {x , y }))
13	9, 12	sylib 127	. . . 4 |- ( Fun <.u , t >. -> E.xE.y(u = {x } /\ t = {x , y }))
14	10, 11	opth 3965	. . . . . . . 8 |- ( <.u , t >. = <. {x } , {x , y } >. <-> (u = {x } /\ t = {x , y }))
15		vex 2554	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
16	15	opid 3558	. . . . . . . . . . 11 |- <.x , x >. = { {x } }
17	16	preq1i 3441	. . . . . . . . . 10 |- { <.x , x >. , { {x } , {x , y } } } = { { {x } } , { {x } , {x , y } } }
18		vex 2554	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
19	15, 18	dfop 3539	. . . . . . . . . . 11 |- <.x , y >. = { {x } , {x , y } }
20	19	preq2i 3442	. . . . . . . . . 10 |- { <.x , x >. , <.x , y >. } = { <.x , x >. , { {x } , {x , y } } }
21		snexgOLD 3926	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. _V -> {x } e. _V)
22	15, 21	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- {x } e. _V
23		zfpair2 3936	. . . . . . . . . . 11 |- {x , y } e. _V
24	22, 23	dfop 3539	. . . . . . . . . 10 |- <. {x } , {x , y } >. = { { {x } } , { {x } , {x , y } } }
25	17, 20, 24	3eqtr4ri 2068	. . . . . . . . 9 |- <. {x } , {x , y } >. = { <.x , x >. , <.x , y >. }
26	25	eqeq2i 2047	. . . . . . . 8 |- ( <.u , t >. = <. {x } , {x , y } >. <-> <.u , t >. = { <.x , x >. , <.x , y >. })
27	14, 26	bitr3i 175	. . . . . . 7 |- ((u = {x } /\ t = {x , y }) <-> <.u , t >. = { <.x , x >. , <.x , y >. })
28		dffun4 4856	. . . . . . . . 9 |- ( Fun <.u , t >. <-> ( Rel <.u , t >. /\ A.zA.wA.v(( <.z , w >. e. <.u , t >. /\ <.z , v >. e. <.u , t >.) -> w = v)))
29	28	simprbi 260	. . . . . . . 8 |- ( Fun <.u , t >. -> A.zA.wA.v(( <.z , w >. e. <.u , t >. /\ <.z , v >. e. <.u , t >.) -> w = v))
30	15, 15	opex 3957	. . . . . . . . . . 11 |- <.x , x >. e. _V
31	30	prid1 3467	. . . . . . . . . 10 |- <.x , x >. e. { <.x , x >. , <.x , y >. }
32		eleq2 2098	. . . . . . . . . 10 |- ( <.u , t >. = { <.x , x >. , <.x , y >. } -> ( <.x , x >. e. <.u , t >. <-> <.x , x >. e. { <.x , x >. , <.x , y >. }))
33	31, 32	mpbiri 157	. . . . . . . . 9 |- ( <.u , t >. = { <.x , x >. , <.x , y >. } -> <.x , x >. e. <.u , t >.)
34	15, 18	opex 3957	. . . . . . . . . . 11 |- <.x , y >. e. _V
35	34	prid2 3468	. . . . . . . . . 10 |- <.x , y >. e. { <.x , x >. , <.x , y >. }
36		eleq2 2098	. . . . . . . . . 10 |- ( <.u , t >. = { <.x , x >. , <.x , y >. } -> ( <.x , y >. e. <.u , t >. <-> <.x , y >. e. { <.x , x >. , <.x , y >. }))
37	35, 36	mpbiri 157	. . . . . . . . 9 |- ( <.u , t >. = { <.x , x >. , <.x , y >. } -> <.x , y >. e. <.u , t >.)
38	33, 37	jca 290	. . . . . . . 8 |- ( <.u , t >. = { <.x , x >. , <.x , y >. } -> ( <.x , x >. e. <.u , t >. /\ <.x , y >. e. <.u , t >.))
39		opeq12 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z = x /\ w = x) -> <.z , w >. = <.x , x >.)
40	39	3adant3 923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z = x /\ w = x /\ v = y) -> <.z , w >. = <.x , x >.)
41	40	eleq1d 2103	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z = x /\ w = x /\ v = y) -> ( <.z , w >. e. <.u , t >. <-> <.x , x >. e. <.u , t >.))
42		opeq12 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z = x /\ v = y) -> <.z , v >. = <.x , y >.)
43	42	3adant2 922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z = x /\ w = x /\ v = y) -> <.z , v >. = <.x , y >.)
44	43	eleq1d 2103	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z = x /\ w = x /\ v = y) -> ( <.z , v >. e. <.u , t >. <-> <.x , y >. e. <.u , t >.))
45	41, 44	anbi12d 442	. . . . . . . . . . 11 |- ((z = x /\ w = x /\ v = y) -> (( <.z , w >. e. <.u , t >. /\ <.z , v >. e. <.u , t >.) <-> ( <.x , x >. e. <.u , t >. /\ <.x , y >. e. <.u , t >.)))
46		eqeq12 2049	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w = x /\ v = y) -> (w = v <-> x = y))
47	46	3adant1 921	. . . . . . . . . . 11 |- ((z = x /\ w = x /\ v = y) -> (w = v <-> x = y))
48	45, 47	imbi12d 223	. . . . . . . . . 10 |- ((z = x /\ w = x /\ v = y) -> ((( <.z , w >. e. <.u , t >. /\ <.z , v >. e. <.u , t >.) -> w = v) <-> (( <.x , x >. e. <.u , t >. /\ <.x , y >. e. <.u , t >.) -> x = y)))
49	48	spc3gv 2639	. . . . . . . . 9 |- ((x e. _V /\ x e. _V /\ y e. _V) -> (A.zA.wA.v(( <.z , w >. e. <.u , t >. /\ <.z , v >. e. <.u , t >.) -> w = v) -> (( <.x , x >. e. <.u , t >. /\ <.x , y >. e. <.u , t >.) -> x = y)))
50	15, 15, 18, 49	mp3an 1231	. . . . . . . 8 |- (A.zA.wA.v(( <.z , w >. e. <.u , t >. /\ <.z , v >. e. <.u , t >.) -> w = v) -> (( <.x , x >. e. <.u , t >. /\ <.x , y >. e. <.u , t >.) -> x = y))
51	29, 38, 50	syl2im 34	. . . . . . 7 |- ( Fun <.u , t >. -> ( <.u , t >. = { <.x , x >. , <.x , y >. } -> x = y))
52	27, 51	syl5bi 141	. . . . . 6 |- ( Fun <.u , t >. -> ((u = {x } /\ t = {x , y }) -> x = y))
53		dfsn2 3381	. . . . . . . . . . 11 |- {x } = {x , x }
54		preq2 3439	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> {x , x } = {x , y })
55	53, 54	syl5req 2082	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> {x , y } = {x })
56	55	eqeq2d 2048	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> ( t = {x , y } <-> t = {x }))
57		eqtr3 2056	. . . . . . . . . 10 |- ((u = {x } /\ t = {x }) -> u = t)
58	57	expcom 109	. . . . . . . . 9 |- ( t = {x } -> (u = {x } -> u = t))
59	56, 58	syl6bi 152	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ( t = {x , y } -> (u = {x } -> u = t)))
60	59	com13 74	. . . . . . 7 |- (u = {x } -> ( t = {x , y } -> (x = y -> u = t)))
61	60	imp 115	. . . . . 6 |- ((u = {x } /\ t = {x , y }) -> (x = y -> u = t))
62	52, 61	sylcom 25	. . . . 5 |- ( Fun <.u , t >. -> ((u = {x } /\ t = {x , y }) -> u = t))
63	62	exlimdvv 1774	. . . 4 |- ( Fun <.u , t >. -> (E.xE.y(u = {x } /\ t = {x , y }) -> u = t))
64	13, 63	mpd 13	. . 3 |- ( Fun <.u , t >. -> u = t)
65	4, 8, 64	vtocl2g 2611	. 2 |- ((A e. V /\ B e. W) -> ( Fun <.A , B >. -> A = B))
66	65	3impia 1100	1 |- ((A e. V /\ B e. W /\ Fun <.A , B >.) -> A = B)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884  A.wal 1240   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-fun 4847

This theorem is referenced by: (None)