Theorem funopab 4935

Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair. (Contributed by NM, 16-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
funopab	|- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem funopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4464	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 3826	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
3		nfopab2 3827	. . . 4 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
4	2, 3	dffun6f 4915	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> ( Rel { <. x , y >. | ph } /\ A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y ) )
5	1, 4	mpbiran 847	. 2 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y )
6		df-br 3765	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
7		opabid 3994	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
8	6, 7	bitri 173	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
9	8	mobii 1937	. . 3 |- ( E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> E* y ph )
10	9	albii 1359	. 2 |- ( A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> A. x E* y ph )
11	5, 10	bitri 173	1 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Syntax hints:   <-> wb 98   A.wal 1241   e. wcel 1393   E*wmo 1901   <.cop 3378   class class class wbr 3764   {copab 3817   Rel wrel 4350   Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  funopabeq  4936  isarep2  4986  fnopabg  5022  fvopab3ig  5246  opabex  5385  funoprabg  5600