Theorem dffun6f 4915

Description: Definition of function, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by NM, 9-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dffun6f.1	|- F/_ x A
dffun6f.2	|- F/_ y A

Assertion

Ref	Expression
dffun6f	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem dffun6f

Dummy variables w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 4912	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. w A. v A. u ( ( w A v /\ w A u ) -> v = u ) ) )
2		nfcv 2178	. . . . . . 7 |- F/_ y w
3		dffun6f.2	. . . . . . 7 |- F/_ y A
4		nfcv 2178	. . . . . . 7 |- F/_ y v
5	2, 3, 4	nfbr 3808	. . . . . 6 |- F/ y w A v
6		nfv 1421	. . . . . 6 |- F/ v w A y
7		breq2 3768	. . . . . 6 |- ( v = y -> ( w A v <-> w A y ) )
8	5, 6, 7	cbvmo 1940	. . . . 5 |- ( E* v w A v <-> E* y w A y )
9	8	albii 1359	. . . 4 |- ( A. w E* v w A v <-> A. w E* y w A y )
10		breq2 3768	. . . . . 6 |- ( v = u -> ( w A v <-> w A u ) )
11	10	mo4 1961	. . . . 5 |- ( E* v w A v <-> A. v A. u ( ( w A v /\ w A u ) -> v = u ) )
12	11	albii 1359	. . . 4 |- ( A. w E* v w A v <-> A. w A. v A. u ( ( w A v /\ w A u ) -> v = u ) )
13		nfcv 2178	. . . . . . 7 |- F/_ x w
14		dffun6f.1	. . . . . . 7 |- F/_ x A
15		nfcv 2178	. . . . . . 7 |- F/_ x y
16	13, 14, 15	nfbr 3808	. . . . . 6 |- F/ x w A y
17	16	nfmo 1920	. . . . 5 |- F/ x E* y w A y
18		nfv 1421	. . . . 5 |- F/ w E* y x A y
19		breq1 3767	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( w A y <-> x A y ) )
20	19	mobidv 1936	. . . . 5 |- ( w = x -> ( E* y w A y <-> E* y x A y ) )
21	17, 18, 20	cbval 1637	. . . 4 |- ( A. w E* y w A y <-> A. x E* y x A y )
22	9, 12, 21	3bitr3ri 200	. . 3 |- ( A. x E* y x A y <-> A. w A. v A. u ( ( w A v /\ w A u ) -> v = u ) )
23	22	anbi2i 430	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. w A. v A. u ( ( w A v /\ w A u ) -> v = u ) ) )
24	1, 23	bitr4i 176	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   E*wmo 1901   F/_wnfc 2165   class class class wbr 3764   Rel wrel 4350   Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-cnv 4353  df-co 4354  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  dffun6  4916  dffun4f  4918  funopab  4935