Theorem spc3gv 2645

Description: Specialization with 3 quantifiers, using implicit substitution. (Contributed by NM, 12-May-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
spc3egv.1	|- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
spc3gv	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A. x A. y A. z ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   V( x, y, z)   W( x, y, z)   X( x, y, z)

Proof of Theorem spc3gv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2568	. . . 4 |- ( A e. V -> E. x x = A )
2		elisset 2568	. . . 4 |- ( B e. W -> E. y y = B )
3		elisset 2568	. . . 4 |- ( C e. X -> E. z z = C )
4	1, 2, 3	3anim123i 1089	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( E. x x = A /\ E. y y = B /\ E. z z = C ) )
5		eeeanv 1808	. . 3 |- ( E. x E. y E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) <-> ( E. x x = A /\ E. y y = B /\ E. z z = C ) )
6	4, 5	sylibr 137	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> E. x E. y E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) )
7		spc3egv.1	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
8	7	biimpcd 148	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ps ) )
9	8	2alimi 1345	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ph -> A. y A. z ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ps ) )
10	9	alimi 1344	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ph -> A. x A. y A. z ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ps ) )
11		exim 1490	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ps ) -> ( E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. z ps ) )
12	11	2alimi 1345	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ps ) -> A. x A. y ( E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. z ps ) )
13	10, 12	syl 14	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ph -> A. x A. y ( E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. z ps ) )
14		exim 1490	. . . . 5 |- ( A. y ( E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. z ps ) -> ( E. y E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. y E. z ps ) )
15	14	alimi 1344	. . . 4 |- ( A. x A. y ( E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. z ps ) -> A. x ( E. y E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. y E. z ps ) )
16		exim 1490	. . . 4 |- ( A. x ( E. y E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. y E. z ps ) -> ( E. x E. y E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. x E. y E. z ps ) )
17	13, 15, 16	3syl 17	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ph -> ( E. x E. y E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> E. x E. y E. z ps ) )
18		19.9v 1751	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ps <-> E. y E. z ps )
19		19.9v 1751	. . . 4 |- ( E. y E. z ps <-> E. z ps )
20		19.9v 1751	. . . 4 |- ( E. z ps <-> ps )
21	18, 19, 20	3bitri 195	. . 3 |- ( E. x E. y E. z ps <-> ps )
22	17, 21	syl6ib 150	. 2 |- ( A. x A. y A. z ph -> ( E. x E. y E. z ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ps ) )
23	6, 22	syl5com 26	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A. x A. y A. z ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   /\ w3a 885   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-v 2559

This theorem is referenced by:  funopg  4934