Theorem zfpair2 3945

Description: Derive the abbreviated version of the Axiom of Pairing from ax-pr 3944. (Contributed by NM, 14-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zfpair2	|- { x , y } e. _V

Proof of Theorem zfpair2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pr 3944	. . . 4 |- E. z A. w ( ( w = x \/ w = y ) -> w e. z )
2	1	bm1.3ii 3878	. . 3 |- E. z A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) )
3		dfcleq 2034	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> A. w ( w e. z <-> w e. { x , y } ) )
4		vex 2560	. . . . . . . 8 |- w e. _V
5	4	elpr 3396	. . . . . . 7 |- ( w e. { x , y } <-> ( w = x \/ w = y ) )
6	5	bibi2i 216	. . . . . 6 |- ( ( w e. z <-> w e. { x , y } ) <-> ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
7	6	albii 1359	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z <-> w e. { x , y } ) <-> A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
8	3, 7	bitri 173	. . . 4 |- ( z = { x , y } <-> A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
9	8	exbii 1496	. . 3 |- ( E. z z = { x , y } <-> E. z A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
10	2, 9	mpbir 134	. 2 |- E. z z = { x , y }
11	10	issetri 2564	1 |- { x , y } e. _V

Syntax hints:   <-> wb 98   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {cpr 3376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382

This theorem is referenced by:  prexgOLD  3946  prexg  3947  onintexmid  4297  funopg  4934