Theorem zfpair2 3936

Description: Derive the abbreviated version of the Axiom of Pairing from ax-pr 3935. (Contributed by NM, 14-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zfpair2	|- {x , y } e. _V

Proof of Theorem zfpair2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pr 3935	. . . 4 |- E.zA.w((w = x \/ w = y) -> w e. z)
2	1	bm1.3ii 3869	. . 3 |- E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y))
3		dfcleq 2031	. . . . 5 |- (z = {x , y } <-> A.w(w e. z <-> w e. {x , y }))
4		vex 2554	. . . . . . . 8 |- w e. _V
5	4	elpr 3385	. . . . . . 7 |- (w e. {x , y } <-> (w = x \/ w = y))
6	5	bibi2i 216	. . . . . 6 |- ((w e. z <-> w e. {x , y }) <-> (w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
7	6	albii 1356	. . . . 5 |- (A.w(w e. z <-> w e. {x , y }) <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
8	3, 7	bitri 173	. . . 4 |- (z = {x , y } <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
9	8	exbii 1493	. . 3 |- (E.z z = {x , y } <-> E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
10	2, 9	mpbir 134	. 2 |- E.z z = {x , y }
11	10	issetri 2558	1 |- {x , y } e. _V

Syntax hints:   <-> wb 98   \/ wo 628  A.wal 1240   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   {cpr 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374

This theorem is referenced by:  prexgOLD  3937  prexg  3938  funopg  4877