Theorem zfpair2 3915

Description: Derive the abbreviated version of the Axiom of Pairing from ax-pr 3914. (Contributed by NM, 14-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zfpair2	|- {x , y } e. _V

Proof of Theorem zfpair2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pr 3914	. . . 4 |- E.zA.w((w = x \/ w = y) -> w e. z)
2	1	bm1.3ii 3848	. . 3 |- E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y))
3		dfcleq 2012	. . . . 5 |- (z = {x , y } <-> A.w(w e. z <-> w e. {x , y }))
4		vex 2534	. . . . . . . 8 |- w e. _V
5	4	elpr 3364	. . . . . . 7 |- (w e. {x , y } <-> (w = x \/ w = y))
6	5	bibi2i 216	. . . . . 6 |- ((w e. z <-> w e. {x , y }) <-> (w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
7	6	albii 1335	. . . . 5 |- (A.w(w e. z <-> w e. {x , y }) <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
8	3, 7	bitri 173	. . . 4 |- (z = {x , y } <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
9	8	exbii 1474	. . 3 |- (E.z z = {x , y } <-> E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
10	2, 9	mpbir 134	. 2 |- E.z z = {x , y }
11	10	issetri 2538	1 |- {x , y } e. _V

Syntax hints:   <-> wb 98   \/ wo 616  A.wal 1224   = wceq 1226  E.wex 1358   e. wcel 1370   _Vcvv 2531   {cpr 3347

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pr 3914

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-v 2533  df-un 2895  df-sn 3352  df-pr 3353

This theorem is referenced by:  prexgOLD  3916  prexg  3917  funopg  4856