Theorem bm1.3ii 3878

Description: Convert implication to equivalence using the Separation Scheme (Aussonderung) ax-sep 3875. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.3ii.1	|- E. x A. y ( ph -> y e. x )

Assertion

Ref	Expression
bm1.3ii	|- E. x A. y ( y e. x <-> ph )

Distinct variable groups:   ph, x   x, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem bm1.3ii

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm1.3ii.1	. . . . 5 |- E. x A. y ( ph -> y e. x )
2		elequ2 1601	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
3	2	imbi2d 219	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ph -> y e. x ) <-> ( ph -> y e. z ) ) )
4	3	albidv 1705	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y ( ph -> y e. x ) <-> A. y ( ph -> y e. z ) ) )
5	4	cbvexv 1795	. . . . 5 |- ( E. x A. y ( ph -> y e. x ) <-> E. z A. y ( ph -> y e. z ) )
6	1, 5	mpbi 133	. . . 4 |- E. z A. y ( ph -> y e. z )
7		ax-sep 3875	. . . 4 |- E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) )
8	6, 7	pm3.2i 257	. . 3 |- ( E. z A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) )
9	8	exan 1583	. 2 |- E. z ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) )
10		19.42v 1786	. . . 4 |- ( E. x ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) <-> ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) )
11		bimsc1 870	. . . . . 6 |- ( ( ( ph -> y e. z ) /\ ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> ( y e. x <-> ph ) )
12	11	alanimi 1348	. . . . 5 |- ( ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> A. y ( y e. x <-> ph ) )
13	12	eximi 1491	. . . 4 |- ( E. x ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
14	10, 13	sylbir 125	. . 3 |- ( ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
15	14	exlimiv 1489	. 2 |- ( E. z ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
16	9, 15	ax-mp 7	1 |- E. x A. y ( y e. x <-> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   E.wex 1381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-sep 3875

This theorem depends on definitions:  df-bi 110

This theorem is referenced by:  axpow3  3930  pwex  3932  zfpair2  3945  axun2  4172  uniex2  4173