Theorem opeqpr 3981

Description: Equivalence for an ordered pair equal to an unordered pair. (Contributed by NM, 3-Jun-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeqpr.1	|- A e. _V
opeqpr.2	|- B e. _V
opeqpr.3	|- C e. _V
opeqpr.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
opeqpr	|- ( <.A , B >. = { C , D } <-> (( C = {A } /\ D = {A , B }) \/ ( C = {A , B } /\ D = {A })))

Proof of Theorem opeqpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2039	. 2 |- ( <.A , B >. = { C , D } <-> { C , D } = <.A , B >.)
2		opeqpr.1	. . . 4 |- A e. _V
3		opeqpr.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	dfop 3539	. . 3 |- <.A , B >. = { {A } , {A , B } }
5	4	eqeq2i 2047	. 2 |- ( { C , D } = <.A , B >. <-> { C , D } = { {A } , {A , B } })
6		opeqpr.3	. . 3 |- C e. _V
7		opeqpr.4	. . 3 |- D e. _V
8		snexgOLD 3926	. . . 4 |- (A e. _V -> {A } e. _V)
9	2, 8	ax-mp 7	. . 3 |- {A } e. _V
10		prexgOLD 3937	. . . 4 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> {A , B } e. _V)
11	2, 3, 10	mp2an 402	. . 3 |- {A , B } e. _V
12	6, 7, 9, 11	preq12b 3532	. 2 |- ( { C , D } = { {A } , {A , B } } <-> (( C = {A } /\ D = {A , B }) \/ ( C = {A , B } /\ D = {A })))
13	1, 5, 12	3bitri 195	1 |- ( <.A , B >. = { C , D } <-> (( C = {A } /\ D = {A , B }) \/ ( C = {A , B } /\ D = {A })))

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 628   = wceq 1242   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376

This theorem is referenced by:  relop  4429