ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeqpr Unicode version

Theorem opeqpr 3981
Description: Equivalence for an ordered pair equal to an unordered pair. (Contributed by NM, 3-Jun-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
opeqpr.1  _V
opeqpr.2  _V
opeqpr.3  C 
_V
opeqpr.4  D 
_V
Assertion
Ref Expression
opeqpr  <. ,  >.  { C ,  D }  C  { }  D  { ,  }  C  { ,  }  D  { }

Proof of Theorem opeqpr
StepHypRef Expression
1 eqcom 2039 . 2  <. ,  >.  { C ,  D }  { C ,  D }  <. ,  >.
2 opeqpr.1 . . . 4  _V
3 opeqpr.2 . . . 4  _V
42, 3dfop 3539 . . 3  <. ,  >.  { { } ,  { ,  } }
54eqeq2i 2047 . 2  { C ,  D }  <. ,  >.  { C ,  D }  { { } ,  { ,  } }
6 opeqpr.3 . . 3  C 
_V
7 opeqpr.4 . . 3  D 
_V
8 snexgOLD 3926 . . . 4  _V  { }  _V
92, 8ax-mp 7 . . 3  { }  _V
10 prexgOLD 3937 . . . 4  _V  _V  { ,  }  _V
112, 3, 10mp2an 402 . . 3  { ,  }  _V
126, 7, 9, 11preq12b 3532 . 2  { C ,  D }  { { } ,  { ,  } }  C  { }  D  { ,  }  C  { ,  }  D  { }
131, 5, 123bitri 195 1  <. ,  >.  { C ,  D }  C  { }  D  { ,  }  C  { ,  }  D  { }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376
This theorem is referenced by:  relop  4429
  Copyright terms: Public domain W3C validator