ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeqsn Unicode version

Theorem opeqsn 3980
Description: Equivalence for an ordered pair equal to a singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
opeqsn.1  _V
opeqsn.2  _V
opeqsn.3  C 
_V
Assertion
Ref Expression
opeqsn  <. ,  >.  { C }  C  { }

Proof of Theorem opeqsn
StepHypRef Expression
1 opeqsn.1 . . . 4  _V
2 opeqsn.2 . . . 4  _V
31, 2dfop 3539 . . 3  <. ,  >.  { { } ,  { ,  } }
43eqeq1i 2044 . 2  <. ,  >.  { C }  { { } ,  { ,  } }  { C }
5 snexgOLD 3926 . . . 4  _V  { }  _V
61, 5ax-mp 7 . . 3  { }  _V
7 prexgOLD 3937 . . . 4  _V  _V  { ,  }  _V
81, 2, 7mp2an 402 . . 3  { ,  }  _V
9 opeqsn.3 . . 3  C 
_V
106, 8, 9preqsn 3537 . 2  { { } ,  { ,  } }  { C }  { }  { ,  }  { ,  }  C
11 eqcom 2039 . . . . 5  { }  { ,  }  { ,  }  { }
121, 2, 1preqsn 3537 . . . . 5  { ,  }  { }
13 eqcom 2039 . . . . . . 7
1413anbi2i 430 . . . . . 6
15 anidm 376 . . . . . 6
1614, 15bitri 173 . . . . 5
1711, 12, 163bitri 195 . . . 4  { }  { ,  }
1817anbi1i 431 . . 3  { }  { ,  }  { ,  }  C  { ,  }  C
19 dfsn2 3381 . . . . . . 7  { }  { ,  }
20 preq2 3439 . . . . . . 7  { ,  }  { ,  }
2119, 20syl5req 2082 . . . . . 6  { ,  }  { }
2221eqeq1d 2045 . . . . 5  { ,  }  C  { }  C
23 eqcom 2039 . . . . 5  { }  C  C  { }
2422, 23syl6bb 185 . . . 4  { ,  }  C  C  { }
2524pm5.32i 427 . . 3  { ,  }  C  C  { }
2618, 25bitri 173 . 2  { }  { ,  }  { ,  }  C  C  { }
274, 10, 263bitri 195 1  <. ,  >.  { C }  C  { }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376
This theorem is referenced by:  relop  4429
  Copyright terms: Public domain W3C validator