ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2exxg Structured version   GIF version

Theorem mpt2exxg 5775
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1 𝐹 = (x A, y B𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg ((A 𝑅 x A B 𝑆) → 𝐹 V)
Distinct variable groups:   x,A,y   y,B
Allowed substitution hints:   B(x)   𝐶(x,y)   𝑅(x,y)   𝑆(x,y)   𝐹(x,y)

Proof of Theorem mpt2exxg
StepHypRef Expression
1 mpt2exg.1 . . 3 𝐹 = (x A, y B𝐶)
21mpt2fun 5545 . 2 Fun 𝐹
31dmmpt2ssx 5767 . . 3 dom 𝐹 x A ({x} × B)
4 vex 2554 . . . . . . 7 x V
5 snexg 3927 . . . . . . 7 (x V → {x} V)
64, 5ax-mp 7 . . . . . 6 {x} V
7 xpexg 4395 . . . . . 6 (({x} V B 𝑆) → ({x} × B) V)
86, 7mpan 400 . . . . 5 (B 𝑆 → ({x} × B) V)
98ralimi 2378 . . . 4 (x A B 𝑆x A ({x} × B) V)
10 iunexg 5688 . . . 4 ((A 𝑅 x A ({x} × B) V) → x A ({x} × B) V)
119, 10sylan2 270 . . 3 ((A 𝑅 x A B 𝑆) → x A ({x} × B) V)
12 ssexg 3887 . . 3 ((dom 𝐹 x A ({x} × B) x A ({x} × B) V) → dom 𝐹 V)
133, 11, 12sylancr 393 . 2 ((A 𝑅 x A B 𝑆) → dom 𝐹 V)
14 funex 5327 . 2 ((Fun 𝐹 dom 𝐹 V) → 𝐹 V)
152, 13, 14sylancr 393 1 ((A 𝑅 x A B 𝑆) → 𝐹 V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  Vcvv 2551  wss 2911  {csn 3367   ciun 3648   × cxp 4286  dom cdm 4288  Fun wfun 4839  cmpt2 5457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710
This theorem is referenced by:  mpt2exg  5776  mpt2ex  5778
  Copyright terms: Public domain W3C validator