ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2exxg Structured version   GIF version

Theorem mpt2exxg 5756
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1 𝐹 = (x A, y B𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg ((A 𝑅 x A B 𝑆) → 𝐹 V)
Distinct variable groups:   x,A,y   y,B
Allowed substitution hints:   B(x)   𝐶(x,y)   𝑅(x,y)   𝑆(x,y)   𝐹(x,y)

Proof of Theorem mpt2exxg
StepHypRef Expression
1 mpt2exg.1 . . 3 𝐹 = (x A, y B𝐶)
21mpt2fun 5526 . 2 Fun 𝐹
31dmmpt2ssx 5748 . . 3 dom 𝐹 x A ({x} × B)
4 vex 2538 . . . . . . 7 x V
5 snexg 3910 . . . . . . 7 (x V → {x} V)
64, 5ax-mp 7 . . . . . 6 {x} V
7 xpexg 4379 . . . . . 6 (({x} V B 𝑆) → ({x} × B) V)
86, 7mpan 402 . . . . 5 (B 𝑆 → ({x} × B) V)
98ralimi 2362 . . . 4 (x A B 𝑆x A ({x} × B) V)
10 iunexg 5669 . . . 4 ((A 𝑅 x A ({x} × B) V) → x A ({x} × B) V)
119, 10sylan2 270 . . 3 ((A 𝑅 x A B 𝑆) → x A ({x} × B) V)
12 ssexg 3870 . . 3 ((dom 𝐹 x A ({x} × B) x A ({x} × B) V) → dom 𝐹 V)
133, 11, 12sylancr 395 . 2 ((A 𝑅 x A B 𝑆) → dom 𝐹 V)
14 funex 5309 . 2 ((Fun 𝐹 dom 𝐹 V) → 𝐹 V)
152, 13, 14sylancr 395 1 ((A 𝑅 x A B 𝑆) → 𝐹 V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  Vcvv 2535  wss 2894  {csn 3350   ciun 3631   × cxp 4270  dom cdm 4272  Fun wfun 4823  cmpt2 5438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691
This theorem is referenced by:  mpt2exg  5757  mpt2ex  5759
  Copyright terms: Public domain W3C validator