ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2ex GIF version

Theorem mpt2ex 5836
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2ex.1 𝐴 ∈ V
mpt2ex.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
mpt2ex (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2ex
StepHypRef Expression
1 mpt2ex.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 mpt2ex.2 . . 3 𝐵 ∈ V
32rgenw 2376 . 2 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V
4 eqid 2040 . . 3 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
54mpt2exxg 5833 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
61, 3, 5mp2an 402 1 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1393  wral 2306  Vcvv 2557  cmpt2 5514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator