ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2exg GIF version

Theorem mpt2exg 5834
Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpt2exg ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exg
StepHypRef Expression
1 elex 2566 . . 3 (𝐵𝑆𝐵 ∈ V)
2 elex 2566 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
32ralrimivw 2393 . . 3 (𝐵 ∈ V → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
41, 3syl 14 . 2 (𝐵𝑆 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
5 mpt2exg.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
65mpt2exxg 5833 . 2 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
74, 6sylan2 270 1 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306  Vcvv 2557  cmpt2 5514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768
This theorem is referenced by:  mpt2exga  5835
  Copyright terms: Public domain W3C validator